选修2-2第二章单元综合测试

单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④【答案】C【解析】①为类比推理；②④为归纳推理；③错误．2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：ab.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A∠B，∴ab，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论【答案】B【解析】本题的大前提是在“同一个三角形中，大角对大边”；小前提是“∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A∠B”．3．在△ABC中，sinAsinCcosAcosC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】D【解析】由sinAsinC－cosAcosC0得cos(A＋C)0，即cosB0，所以B为锐角，但不能判断A、C，故选D.4．已知a1＝3，an＋1＝3anan＋3，试通过计算a2，a3，a4，a5的值推测出an＝()A.3nB.32nC.4nD.2n【答案】A【解析】∵a1＝3，an＋1＝3anan＋3，∴a2＝3×33＋3＝32，∴a3＝3×3232＋3＝33，a4＝3×11＋3＝34，a5＝3×3434＋3＝35.猜想：an＝3n.5．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n－1－1n＝2(1n＋2＋1n＋4＋…＋12n)时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时为真，则还需利用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立【答案】B【解析】当n＝k(k≥2，且k为偶数)时成立，应利用归纳假设再证与k相邻的下一个偶数成立，即n＝k＋2时成立．6．设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.14【答案】B【解析】(312)2＝3a·3b＝3a＋b，∴a＋b＝1，1a＋1b＝(1a＋1b)(a＋b)＝2＋ba＋ab≥21＋2＝4当且仅当ba＝ab即a＝b时等号成立，故选B.7．设a，b，c都是正数，a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个数不大于2D．至少有一个数不小于2【答案】D【解析】a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6，若三个数均小于2，则a＋1b＋b＋1c＋c＋1a6，与已知矛盾．8．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号座位上(如图)．第一次前后排动物换位，第二次左右列动物互换座位……这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔坐在第________号座位上()1鼠2猴3兔4猫开始1兔2猫3鼠4猴第一次1猫2兔3猴4鼠第二次1猴2鼠3猫4兔第三次A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意知第一次互换后与第5次互换后排列顺序一样．所以第2005次互换后小兔在第1号座位上．9．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b都是正有理数，|a|＋|b|1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确【答案】D【解析】在①中应假设p＋q2，故①错，而②的假设是正确的．10．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设abc，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac3a”索的因应是()A．a－b0B．a－c0C．(a－b)(a－c)0D．(a－b)(a－c)0【答案】A【解析】因为abc，且a＋b＋c＝0，所以3ca＋b＋c3a，即a0，c0.要证b2－ac3a，只需证b2－ac3a2，只需证(a＋c)2－ac3a2，只需证2a2－ac－c20，只需证(a－c)(2a＋c)0，只需证2a＋c0(a0，c0，则a－c0)，只需证a＋c＋(－b－c)0，即证a－b0，显然成立，故选A.11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a、b、c的值为()A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．不存在这样的a、b、c【答案】A【解析】令n＝1、2、3，得3a－b＋c＝1，92a－b＋c＝7，273a－b＋c＝34.所以a＝12，b＝c＝14.12．如图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H不同的旅游路线的条数是()A．15B．16C．17D．18【答案】C【解析】如果一条一条地去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一条思路，用分析法试试．要到H点，需从F，E，G走过来，F，E，G各点又可由哪些点走过来……这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算法：A到B，C，D的路线条数记在B，C，D圆圈内，B，C，D分别到F，E，G的路线条数亦记在F，E，G圆圈内，最后F，E，G内的路线条数之和即为从A到H的路线的总条数，如下图所示．二、填空题(每小题4分，共16分)13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论是______________________________________．【答案】表面积一定的空间体中，球的体积最大【解析】平面中的“周长”类比成空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．14．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b0，a＋c0，b＋c0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定比零________．【答案】大【解析】∵f(x)是R上奇函数，且是增函数，a＋b0，∴a－b，∴f(a)f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)0，同理得f(b)＋f(c)0，f(a)＋f(c)0，三式相加得f(a)＋f(b)＋f(c)0.15．观察下列不等式：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……照此规律，第五个不等式为__________________．【答案】1＋122＋132＋142＋152＋162116【解析】本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋122n＋1n＋1，所以第五个不等式为：1＋122＋132＋142＋152＋162116.16．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝________.【答案】30【解析】类比规律∴a＝21，b＝9，故a＋b＝30.三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)已知x0，y0.用分析法证明：(x2＋y2)12(x3＋y3)13.【证明】∵x0，y0，∴要证(x2＋y2)12(x3＋y3)13，只需证(x2＋y2)3(x3＋y3)2，即证3x2＋3y22xy.(*)∵3x2＋3y2－2xy＝3(x2＋y2)＋(x－y)20，∴(*)成立，故原不等式成立．18．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．(1)求证tan(x＋π4)＝1＋tanx1－tanx；(2)设x∈R，a≠0，f(x)是非零函数，且函数f(x＋a)＝1＋fx1－fx，那么f(x)是周期函数吗？证明你的结论．【证明】(1)tan(x＋π4)＝tanπ4＋tanx1－tanπ4tanx＝1＋tanx1－tanx.(2)解：类比猜想：f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．证明：因为f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝1＋fx＋a1－fx＋a＝1＋1＋fx1－fx1－1＋fx1－fx＝－1fx，所以f(x＋4a)＝－1fx＋2a＝f(x)．所以f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．19．(本题满分12分)已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；(2)求证：满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．【证明】(1)∵f′(x)＝－3x2－1＝－(3x2＋1)0(x∈R)，∴y＝f(x)是定义域上的减函数．(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1，x2∈R，f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R上单调递减，∴当x1x2时，f(x1)f(x2)，当x1x2时，f(x1)f(x2)，这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，故假设不成立，所以f(x)＝0至多只有一个实数根．20．(本题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C，AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1B⊥AD；(2)求证：CE∥平面AB1D.【证明】(1)如图，连接A1D，BD，DG.∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，∴四边形A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C的中点，∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD.∵G是A1B的中点，∴A1B⊥DG.又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD.(2)连接GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面ABC.∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC.∵GE＝DC＝12a，∴四边形GECD为平行四边形，∴EC∥GD.又∵EC⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，∴EC∥平面AB1D.21．(本题满分13分)设函数y＝g(x)的定义域是R，且对任意的x，y∈R，都有g(x＋y)＝g(x)＋g(y)成立，又当x0时，g(x)0.(1)函数y＝kx(k≠0)是否是上述函数的特例？若是，请说明理由；若不是，另举出一例．(2)类比(1)的具体函数的性质，试推广出上述一般函数y＝g(x)的两个性质，并给出证明．【解析】(1)不是．因为当k0时，此函数不满足“当x0时，g(x)0”．当g(x)＝2x时，是上述函数的特例．(2)类比(1)的具体函数的性质，推广出上述一般函数y＝g(x)的两个性质为：①函数y＝g(x)是奇函数；②函数y＝g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．证明如下：①令x＝y＝0，则g(0＋0)＝g(0)＋g(0)，即g(0)＝0.再令y＝－x得：g(0)＝g(x)＋g(－x)，即g(－x)＝－g(x)．所以函数y＝g(x)是奇函数．②设x1x2，则x2－x10，所以g(x2－x1)0，即g(x2)＋g(－x1)0，g(x2)－g(－x1)，所以g(x2)g(x1)．所以函数y＝g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．22．(本题满分13分)(2014·安徽理)设实数c0，整数p1，n∈N＋.(1)证明：当x－1且x≠0时，(1＋x)p1＋px；(2)数列{an}满足a1c1p，an＋1＝p－1pan＋cpa1－pn，证明：anan＋1c1p.【证明】(1)用数学归纳法证明①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x21＋2x，原不等式