理解傅里叶级数

第十章无穷级数10.5傅里叶级数*10.5.6小结10.5.1三角级数与三角函数系的正交性10.5.2以为周期的函数的傅里叶级数10.5.3区间上函数的傅里叶级数2[,]10.5.4正弦级数和余弦级数10.5.5以为周期的函数的傅里叶级数l210.5.1三角级数与三角函数系的正交性函数项级数)sincos(210nxbnxaannn称为三角级数，其中),2,1(,,0nbaann是常数．称函数族,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx为三角函数系．三角函数系的正交性是指：三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[,]上的积分等于零即0cosnxdx1,2,,n0sinnxdx1,2,,n0cossinnxdxkx,1,2,,kn0sinsinnxdxkx,1,2,,knkn0coscosnxdxkx,1,2,,knkn,212dxnxdx2cos1,2,,nnxdx2sin1,2,.n10.5.2以为周期的函数的傅里叶级数2通常，由下述公式确定的),2,1(,,0nbaann称为函数)(xf的傅里叶系数．,)(10dxxfa,cos)(1nxdxxfan1,2,,n,sin)(1nxdxxfbn1,2,.n10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf将傅里叶系数值代入展开式的右端)(xf得到的三角级数10)sincos(2nnnnxbnxaa称为函数)(xf的傅里叶级数．定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设)(xf是周期为2的周期函数如果它满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内至多只有有限个极值点则)(xf的傅里叶级数收敛并且：(1)当x是)(xf的连续点时级数收敛于;)(xf(2)当x是)(xf的间断点时级数收敛于.)]0()0([21xfxf例1设)(xf是周期为2的周期函数它在[,)上的表达式为,0101)(xxxf将)(xf展开成傅里叶级数．解所给函数)(xf满足收敛定理的条件，函数在点xk(0,1,2,)k处不连续在其它点处连续，从而由收敛定理知道)(xf的傅里叶级数收敛，并且当xk时收敛于0)11(21)]0()0([21xfxf当xk时级数收敛于.)(xf傅里叶系数计算如下1()cosnafxnxdx0011(1)cos1cos0nxdxnxdx(0,1,2,)nnxdxxfbnsin)(100sin11sin)1(1nxdxnxdx00]cos[1]cos[1nnxnnx]1coscos1[1nnn2(1(1))nn6,4,2,0,5,3,14nnn于是)(xf的傅里叶级数展开式为])12sin(1213sin31[sin4)(xkkxxxf10.5.3区间上函数的傅里叶级数[,]例2将函数π0,0π,)(xxxxxf展开成傅里叶级数．解将函数)(xf延拓成以2为周期的函数,)(xF易知，函数)(xF满足收敛定理的条件，傅里叶系数为π0ππππ0dπ2d)(π1d)(π1xxxxfxxFaπ202π2xππππdcos)(π1dcos)(π1xnxxfxnxxFanπ02π0cossinπ2dcosπ2nnxnnxxxnxx224212(21)(cosπ1)π02nkknnnk),2,1(k0dsin)(π1dsin)(π1ππππxnxxfxnxxFbn所以，函数)(xf的傅里叶级数展开式为22π411()(coscos3cos5)2π35fxxxx).ππ(x10.5.4正弦级数和余弦级数一、正弦级数和余弦级数定理2对于周期为2的奇函数,)(xf其傅里叶级数为正弦级数，即傅里叶系数为0(0,1,2,),nan,sin)(20nxdxxfbn(1,2,)n周期为2的偶函数,)(xf其傅里叶级数为余弦级数，即傅里叶系数为,cos)(20nxdxxfan(1,2,)n0nb(1,2,).n例3将周期函数tEtusin)(展开成傅里叶级数，其中E为正常数．解不妨将)(tu看成是2为周期的函数，满足收敛定理，先计算傅里叶系数0(1,2,)nbnπ4dsinπ2d)(π2π0π00EttEttua0d2sinππ01ttEaπ0π0dcossinπ2dcos)(π2tnttEttntuanπ0d])1sin()1[sin(πttntnE242(41)021Enkknk),2,1(k从而函数)(tu的傅里叶级数是一个余弦级数122cos141π4π2)(kkxkEEtu)6cos3514cos1512cos3121(π4tttE.)(t二、区间上的函数的傅里叶级数[0,][0,]将一个定义在上的函数)(xf进行拓展)0,(),(0,0],0(),()(xxfxxxfxF这样构造的函数)(xF在),(上是一个奇函数，按这种方式拓展函数定义域的过程称为奇延拓。同理，构造函数为)(xF)0,(),(],0[),()(xxfxxfxF按这种方式拓展函数定义域的过程称为偶延拓．例4将函数)0(1)(xxxf分别展开成正弦级数和余弦级数．解先展开成正弦级数．对函数)(xf作奇延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件．按公式计算傅里叶系数00dsin)1(2dsin)(2xnxxxnxxfbn02]cossincos[2nnxnnxnnxx)coscos1(2nnn22212112nkknkk),2,1(k从而可得正弦级数221((2)sinsin2sin3sin4)234xxxxx)0(x其中在端点,0x处，级数的和为0．再把函数展开成余弦级数．对函数)(xf作奇延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件．按公式计算傅里叶系数2)2(2d)1(20200xxxxa0dcos)1(2xnxxan02]sincossin[2nnxnnxnnxx)1(cos22nn2421(21)02nkknk),2,1(k从而可得余弦级数2241111[coscos3cos5]235xxxx(0)x10.5.5以为周期的函数的傅里叶级数l2定理3设周期为l2的周期函数)(xf满足收敛定理条件，则它的傅里叶级数当x是)(xf的连续点时，有01()(cossin)2nnnanxnxfxabll其中),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxlxnxflbnxlxnxflallnlln例5设)(xf是周期为4的周期函数它在[2,2)上的表达式为20020)(xkxxf将)(xf展开成傅里叶级数，其中k为非零常数．解这里2l0]2sin[2cos212020xnnkdxxnkankkdxdxa200202102122001sin[cos]222nnxknxbkdxn21,3,5,(1cos)02,4,6,knknnnn于是)25sin5123sin312(sin22)(xxxkkxf(,0,2,4,)xx且在点0,2,4,x处)(xf的傅里叶级数收敛于.2k例6将函数)20()(xxxf展开成（1）正弦级数；（2）余弦级数．解（1）将)(xf先作奇延拓，再作周期延拓，计算傅里叶系数得),2,1,0(0nanxxnxbnd2sin222022022cossin22nxnxxnn),2,1()1(4cos41nnnnn从而可得正弦级数,2sin)1(4)(11xnnxfnn)20(x（2）将)(xf先作偶延拓，再作周期延拓，计算傅里叶系数得2d22200xxaxxnxand2cos222022022sincos22nxnxxnn]1)1[(422nn12,)12(82,022knkkn),2,1(k从而可得余弦级数)20(2)12(cos)12(181)(122xxkkxfk10.5.6小结1.三角级数与三角函数系的正交性2.以为周期的函数的傅里叶级数3.区间上函数的傅里叶级数2[,]4.正弦级数和余弦级数5.以为周期的函数的傅里叶级数l2