03-1-弦的横向振动解析

燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity◆离散系统是由分离的质量、弹簧和阻尼元件所构成第3章连续系统的振动◆离散系统具有有限个自由度；连续系统具有无限多个自由度。◆实际振动系统一般具有分布的质量、弹性和阻尼等物理参数，因而称为连续系统(或分布参数系统)。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity◆在数学上，离散系统的运动方程为方程数目与自由度数目相等的二阶常微分方程组；◆连续系统需要用时间和坐标的函数来描述它的运动状态，因此连续系统运动方程是偏微分方程。◆若把一个连续系统离散为一个有限单元的集合，便成了离散系统。反之，离散系统的极限情况就是连续系统。离散系统是连续系统的近似描述，这也说明连续系统具有无限多的自由度。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity◆离散系统和连续系统具有相同的动力特性。连续系统的振动理论在概念方面严格地与离散系统相似；分析计算的过程也相似：(1)建立系统运动微分方程离散系统:常微分方程组;连续系统:偏微分方程组。(2)求固有频率、振型、正则振型离散系统:根据特征方程求固有频率、确定振型向量；根据正交性确定正则振型向量。连续系统:根据边界条件求固有频率、确定振型函数；根据正交性确定正则振型函数。(3)求正则坐标下的响应离散系统:正则坐标数为系统自由度数。连续系统:正则坐标数为无限个。(4)求原广义坐标下的响应燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等的振动问题。◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计算或利用各种近似方法求解。◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实用有效方法之一。◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和各向同性的，并在弹性范围内服从虎克(Ｈook)定理，这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity简单的连续系统振动演示燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity设有一根细弦张紧于两固定点之间，弦长为L。两固定点连线方向取为x轴，与x轴垂直的方向取为y轴，如图所示。弦的单位长度质量为(x)，在横向分布力f(x,t)作用下作横向振动，张力为T(x,t)，跨长为L，弦x处的横向位移函数为y=y(x,t)。3.1弦的横向振动燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity取微段弦线单元体dx。假设弦作微小横向振动，则由牛顿定律得22d,ddsindsinyxfxtxtTTxxTxx在微振动条件下，有xytansinxyTxxxyxyxTxxyxyTxt,xftyxddddd222222燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity式中xyTxxyxTxyT22xyTxxxyxyxTxxyxyTxt,xftyxddddd222222式中，不计dx的二次项，两边同时除以dx，整理得xyxTxyTt,xfty2222燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity式中：=(x)，T=T(x,t)，y=y(x,t)。22,(0)yyTfxtxLtxx弦的横向振动偏微分方程★弦横向振动的数学模型★弦横向振动的边界条件：两端处位移为零，即0,,0tLyty★上式为偏微分方程的边界值问题。22,(0)0,,0yyTfxtxLtxxytyLt燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★假设：弦单位长度质量(x)==常数；弦内张力T可视为常量；横向位移y(x,t)为小量。★如果f(x,t)=0，则弦的自由振动微分方程为22222xyatyTa★弦横向振动数学模型简化为★a表示弹性波沿弦向的传播速度。上式通常称为波动方程。2222,(0)0,,0yyTfxtxLtxytyLt22,0,,0yyTfxttxxytyLt燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity●连续系统的自由振动问题同离散系统的自由振动问题在处理上可以用相同的方法；●观察弦的自由振动同样可以发现存在着同步运动的特征，即在运动中弦线位移的一般形状不随时间改变，但一般形状的幅度是随时间而改变的；●运动中弦的各点同时到达最大幅值，又同时通过平衡位置；●用数学的语言讲，描述弦振动的位移函数y(x,t)在时间和空间上是分离的。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★上述边界值问题的解可以写成下面的形式tFxYtxy,22222ddddFtYxYxaFttx●Y(x)表示弦的振动位形，只取决于变量x；●F(t)表示弦的振动规律，只取决于时间t。22222xyaty★将上式代入自由振动的波动方程22222xyatyTa22222dd1dd1xxYxYattFtF燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity22222dd1dd1xxYxYattFtF左端只依赖于t，右端只依赖于x，要使其对任意的t和x都成立，必然等于同一常数。用-2表示这个常数，得222222dd1dd1xxYxYattFtF由该式得到如下两个方程0dd222tFttF222d00dYxYxxLxa关于时间变量t的常微分方程。关于空间变量x的常微分方程。将偏微分方程转化为两个二阶常微分方程！——分离变量法。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity关于时间变量t的常微分方程0dd222tFttFsincossinFtAtBtCt方程的通解为式中：A，B(或C，)为积分常数。由两个初始条件y(x,0)和来确定。0,xy燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity关于空间变量x的常微分方程xExDxYcossin式中：D，E为积分常数。由边界条件y(0，t)和y(L，t)来确定。显然，D=0不是振动解。上式通解为0,sin0EDLsin0La弦振动的特征方程222d0,0dYxYxxLxa称为振型函数0sin0DL00LYY,0,=0,=0yxtYxFtytyLt，燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity由特征方程，可求得无限多阶固有频率：1,2,rrarTrLL★第1阶固频率1称为基频，或基谐波；★高阶固有频率r(r=2，3，…)称为高次谐波。★高次谐波是基谐波的整数倍。★对应于无限多阶固有频率，有无限多阶固有振型函数sincos1,2,rrrYxDxExr1,2,rrrraLE=0因为振型只确定系统中各点振动幅度的相对值，其表达式无需带常数因子D，取D=1。sin1,2,rrYxxrL燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★离散系统的固有振型是以各质点之间的振幅比来表示的；★当离散系统的质点数趋向于无穷时，各质点振幅就成为x的连续函数，即为连续系统中的振型函数Y(x)；★离散系统所描绘的固有振型只是连续系统振型函数Y(x)所表达的真实振型的近似解。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity弦的自由振动可以表示为各阶固有振动的叠加，即有11,sincossinrrrrrrrrryxtYxFtAtBtxL对应于第r阶固有频率，弦的固有振动为xLrtBtAtFxYtxyrrrrrrrsincossin,11,cossinsinrrrrrrrrrryxtFtrYxAtBtxttL燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity弦自由振动对初始条件的响应设t=0的初始条件为,0,0()yxyxfxgxt1111,sincossin,cossinsinrrrrrrrrrrrrrrrrrrryxtYxFtAtBtxLyxtFtrYxAtBtxttL11,0sin,0sinrrrrrryxBxfxLyxrAxgxtL燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity初始条件表示为11,0sin,0sinrrrrrryxBxfxLyxrAxgxtL由三角函数的正交性，有LsrLsrxLxsLxr020dsinsin002sind1,2,12sindLrLrrrxBfxxLLrrxAgxxLL张紧弦的自由振动，除了基频振动外，还可以包含谐波振动。在振动中各种谐波的出现与否以及出现的相对大小取决于激励条件。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity例1如图所示的两端固定的弦。求振动的前三阶固有频率和相应的固有振型，并作出振型图。11sinTYxxLL2222sinTYxxLL3333sinTYxxLL实例解：固有频率和振型函数为1,2,rrarTrLLsin1,2,rrYxxrL燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★系统各阶固有频率值由低到高成倍增长，相应振型波形逐渐增多；★振幅为零的