第三讲-怎样分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律

怎样分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律一、量等量异号点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律高中物理静电场部分，习题中往往要用到真空中两个等量异号点电荷的连线上场强E的变化规律和连线的中垂线上场强E的变化规律。来考查两个场强矢量叠加的问题。下面阐述就此问题总结的两个规律的内容及其分析方法和过程。如图1所示，真空中两个等量异号点电荷的电量分别为Q、Q，连线为线段ＡＢ，ＭＮ为ＡＢ中垂线，垂足为Ｏ。1.分析总结中垂线上E的变化规律。中垂线MN上各点场强的方向，可由电场线法或两点电荷在MN上各点产生的场强AE、BE按量矢量合成的平行四边形定则进行合成，通过画图可得到MN上所有点合场强E的方向都与OB平行且由Ａ指向Ｂ，那么Ｅ的大小有什么变化规律呢？很多资料上用电场线的疏密结合平行四边形定则，作出合场强Ｅ的图形来定性的讨论总结Ｅ的大小变化规律，得出以上结论。结论１中垂线上Ｏ点处的Ｅ最大，沿射线OM、射线ON方向E都逐渐减小，至无穷远处E变为零。证明：如图1所示，中垂线上任意一点Ｃ，令OC=y，AB=L，在RtAOC和RtBOC中，有22()2lACBCyQ、Q在C点处的场强大小分别为AE和BE，且222()()2ABkqkqEELACy显然以AE、BE为邻边作的平行四边形是菱形，且对角线代表的此点的和场强CE//AB且2cosCAEE。在RtAOC中，有22cos2()2AOLACLy32222cos[()]2CAkqLEELy对上式进行讨论，因式中k、q、L是常量，所以有：图１（1）当y=0时，CE有最大值，且28mkqEL，即中垂线上垂足O处的场强最大；（2）当y变大时，分母3222[()]2Ly逐渐变大，那么CE的值因单调递减而逐渐变小；（3）当y∞时，即中垂线上距离O点无穷远处的位置E变为0，几乎不存在电场。从上述分析可以证明结论1变化规律的正确性。2．分析总结AB两点连线上场强的变化规律此规律的总结如果仍用电场线理论和两场强矢量的叠加进行作图比较，归纳不出结论。但用类比的方法，把分子动理论中分子间相互作用的引力和斥力随距离变化的规律引用过来，就可以轻松准确地突破思维难关。如图所示，当分子间的距离0ar时，分子间的引力和斥力相等，即=FF引斥。当0ar时，分子间的引力和斥力都要随着距离的增大而减小，但斥力比引力要减小得快，总体表现为分子间的引力。当0ar时，分子间的引力和斥力都要随着分子间的距离的减小而增大，但斥力比引力增加得快，总体表现为分子间的斥力。现在进行类比：如图1所示，在中点O处，有2()2ABkqEEL由点电荷的场强公式，即2kqEr可知E与2r成反比，那么从O开始沿OA方向每移动一个小微元段x，就有Q在D点产生的场强AE增大，Q在D点处产生的场强减小，但是AE增加得快，而BE减小得慢，即D点移动同样的距离，随AE增加量比BE的减小量大，D点的合场强DABEEE一定要变大，即可得出从O点开始沿OA方向，OA上各点的场强要逐渐变大。同理从O点开始沿OB方向分析，每移动相同的距离段，AE减小得慢，BE增加得快，各点的合场强也是逐渐变大。由此可得到以下规律。结论2在等量异号的两个点电荷间的连线上，两端点处场强最大，中点处场强最小。不论由A到B方向上的点，还是由B到A方向上的点，它们场强大小的变化规律总是先减小后增大。图２证明：如图1所示，在线段AB上任取一点D，令AD=x，则BD=L-x，Q在D点产生的场强为2AkqExQ在D点处产生的场强2()BkqELx由于AE、BE方向相同，且在同一条直线上，在D点处的合场强为22()DABkqkqEEExLx2211[]()kqxLx为了讨论DE随x的变化规律，现对函数DE求导，得333311[22()]2[]()DEkqxLxkqLxx下面对导函数进行讨论：（1）当2Lx时，0DE，则在(0,]2L上，原函数DE为递减函数，就可以得出AO方向，线段AO上各点的场强具有随x的增大而减小的变化规律；（2）当2Lx时，0DE，则在[,)2LL上原函数DE为递增函数，就可以得出OB方向，线段OB上各点的场强具有随x的增大而增大的变化规律；（3）当2Lx时，0DE，则原函数DE有最小值，即28DkqEL。这3种情况可通过图3的DEx图像描述出来。由此证明了结论2的正确性。图３二、两等量同号点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律1.中垂线上电场强度的变化规律如图所示，A、B是带电量均为Q的固定点电荷，两者相距2L。试说明，在AB连线的垂直平分线上的电场强度的变化规律。如图4所示，设AB=2L，CAB，222EEcosABQQkkrL由平行四边形定则可得222sin2cossinAQEEkL令y=2cossin=sinsin-12）（=3sin-sincossin3-cosy2）（2sin3-1cos=031sin2当33sin时，E有最大值2439kQL方法二：2422221cossin(2sincoscos)2y由于2222sincoscos2为定值。所以当且仅当2222sincoscos时2y取得最大值，21tan2，解得当33sin时，E有最大值2439kQL由以上推导可得出以下几点：（1）当0时，即在O点，合场强E=0；（2）当3argsin3时，E存在最大值，其最大值为2439kQL；最大值时C到O点的距离为22L。图４（3）当90时，合场强E=0；（4）在AB的垂直平分线上的电场强度是先增大，后减小，方向始终是垂直于AB连线且背离O点的方向。2.在ＡＢ连线上的电场强度分布情况：如图４所示，在在线段AB上任取一点D，令AD=x，则BD=２L-x，Ａ处点电荷在D点产生的场强为2AkqExB处点电荷在D点处产生的场强2(2)BkqELx由于AE、BE方向相同，且在同一条直线上，取向右为正方向。则在D点处的合场强为22(2)DABkqkqEEExLx2211[](2)kqxLx（1）当x=0和x=2L时，DE最大。（2）当0xL时，DE逐渐减小，方向向右。（3）当x=L时，DE=0.（4）当2LxL，DE逐渐增大，方向向左。作业：请分析两等量点电荷的连线上及中垂线上电势的变化规律。