基本不等式经典例题精讲

1595581895242第1页共8页新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+x1的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x＜31,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)=31·3x(1-3x)≤31［2)31(3xx］2=121，当且仅当3x=1-3x，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121.解法二：∵0＜x＜31,∴31-x＞0.∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231xx］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121.（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+x1≥2xx1=2，当且仅当x=1时，等号成立.当x＜0时，y=x+x1=-［(-x)+)(1x］.∵-x＞0,∴(-x)+)(1x≥2,当且仅当-x=x1,即x=-1时，等号成立.∴y=x+x1≤-2.综上,可知函数y=x+x1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+11x的最小值.思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11x的积为常数.1595581895242第2页共8页解：∵x＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11x=x+1+11x-1≥2)1(1)1(xx-1=1.当且仅当x+1=11x,即x=0时,取得等号.∴f(x)min=1.变式训练2求函数y=133224xxx的最小值.思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.∴y=133224xxx=1113)1(3)1(22tttttttt.∵t≥1,∴t+t1≥2tt1=2,当且仅当t=t1,即t=1时，等号成立.∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且x1+y9=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”,∵x1+y9=1,∴x+y=(x+y)·(x1+y9)=10+yxxy9.∵x＞0,y＞0,∴yxxy9≥2yxxy9=6.当且仅当yxxy9，即y=3x时，取等号.又x1+y9=1,∴x=4,y=12.1595581895242第3页共8页∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由x1+y9=1，得x=9yy.∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=9yy+y=y+999yy=y+99y+1=(y-9)+99y+10.∵y＞9,∴y-9＞0.∴999yy≥299)9(yy=6.当且仅当y-9=99y，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由x1+y9=1，得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2)9)(1(yx=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x1+y9=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x1+y9≥2xy9①,即xy6≤1,∴xy≥6.∴x+y≥2xy≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x1=y9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.1595581895242第4页共8页变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ybxa=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(ybxa)=a+xayybx+b=10+xayybx.∵x,y＞0,a,b＞0，∴x+y≥10+2ab=18，即ab=4.又a+b=10，∴8,2ba或.2,8ba例3求f(x)=3+lgx+xlg4的最小值（0＜x＜1）.思路分析：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,xlg4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,xlg4＜0.∴-xlg4＞0.∴(-lgx)+(-xlg4)≥2)lg4)(lg(xx=4.∴lgx+xlg4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg4≤3-4=-1.当且仅当lgx=xlg4,即x=1001时取得等号.则有f(x)=3+lgx+xlg4(0＜x＜1)的最小值为-1.黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.变式训练1已知x＜45，求函数y=4x-2+541x的最大值.1595581895242第5页共8页思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜45，则4x-5＜0.解：∵x＜45,∴4x-5＜0.y=4x-5+541x+3=-［(5-4x)+x451］+3≤-2xx451)45(+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=x451,即x=1时等号成立.所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x＜23时，求函数y=x+328x的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328x并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328x+23=-（xx238223）+23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328x+23=-（xx238223）+23，∵当x＜23时，3-2x＞0，∴xx238223≥xx2382232=4，当且仅当xx238223，即x=-21时取等号.于是y≤-4+23=25，故函数有最大值25.例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为xm，宽为ym，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.解：（1）设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.1595581895242第6页共8页设每间虎笼的面积为S，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2yx32=2xy6,∴2xy6≤18,得xy≤227，即S≤227.当且仅当2x=3y时等号成立.由,1832,22yxyx解得.3,5.4yx故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y.∵x＞0,∴0＜y＜6.S=xy=(9-23y)y=23(6-y)y.∵0＜y＜6,∴6-y＞0.∴S≤23［2)6(yy］2=227.当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2yx32=2xy6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由,24,32xyyx解得.4,6yx故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=y24.∴l=4x+6y=y96+6y=6(y16+y)≥6×2yy16=48,当且仅当y16=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y都是正数；（2）积xy（或x+y）为定值；（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.1595581895242第7页共8页变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x米,则宽为x200米(0＜x≤16,0＜x200≤16),∴12.5≤x≤16.于是总造价Q(x)=400(2x+2×x200)+248×2×x200+80×200.=800(x+x324)+16000≥800×2xx324+16000=44800,当且仅当x=x324(x＞0),即x=18时等号成立,而18［12.5,16］,∴Q(x)＞44800.下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x1＜x2≤16,则x2-x1＞0,x1x2＜162＜324.Q(x2)-Q(x1)=800［(x2-x1)+324(1211xx)］=800×212112)324)((xxxxxx＜0,∴Q(x2)＞Q(x1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.1595581895242第8页共8页由题意知y=n+n8.∵n+n8≥2248nn,当且仅当n=n8,即n=22时取等号.但考虑到n∈N*,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.例5解关于x的不等式2)1(xxa＞1(a≠1)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆原不等式可化为新疆王新敞特级教师源头学子小屋