三招破解三角形解的个数问题

第1页共1页三角形解的个数问题学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即在已知ABC中的边长a，b和角A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理求出sinB的值，①若该值大于1，与sin1B矛盾，则无解；②若该值小于或等于1，则要考虑a，b的大小关系及A为锐角还是钝角：若A是钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解；若A是锐角，且ba，则有1解；若ba，且该值小于1，则有2解；ba，且该值等于1，则有1解．但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解，操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．第一招：大角对大边在已知ABC中的边长a，b和角A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B与角A的大小关系，然后求出B的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC中，已知3a，2b，45B，求A、C及c．解：由正弦定理，得sin3sin453sin22aBAb，∵4590B，ba，∴60A或120．当60A时，75C，sin2sin7562sinsin452bCcB；当120A时，15C，sin2sin1562sinsin452bCcB．点评：在三角形中，sinsinabABAB这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．第二招：二次方程的正根个数一般地，在ABC中的边长a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程2222cos0cbcAba，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．【例2】如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，10AD，14AB，60BDA，135BCD，求BC的长．解：在ABD中，设BDx，由余弦定理得2221410210cos60xx，整理得210960xx，解得16x．由正弦定理，得sin16sin3082sinsin135BDCDBBCBCD．点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．第三招：画圆法已知ABC中，A为已知角（90），先画出A，确定顶点A，再在A的一边上确定顶点C，使AC边长为已知长度，最后以顶点C为圆心，以CB边长为半径画圆，看该圆与A的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC中，60A，6a，3b，则ABC解的情况（）（A）无解（B）有一解（C）有两解（D）不能确定解：在A的一边上确定顶点C，使3ACb，作60CAD，以顶点C为圆心，以6CBa为半径画圆，看该圆与AD没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A．ABCDAbCaD