(word完整版)高中导数练习题

1导数【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例1．()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是．[解答过程]22()2,(1)123.fxxf例2.设函数()1xafxx,集合M={|()0}xfx,P='{|()0}xfx,若MP,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[解答过程]由0,,1;,1.1xaxaaxx当a1时当a1时//2211,0.11111.xxaxaxaayyxxxxa综上可得MP时,1.a例3.若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy[解答过程]与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1，1)处导数为4，此点的切线为430xy.故选A.2例4.已知两抛物线axyCxxyC2221:,2:,a取何值时1C，2C有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.解答过程：函数xxy22的导数为22'xy，曲线1C在点P(12112,xxx)处的切线方程为))(2(2)2(11121xxxxxy，即211)1(2xxxy①曲线1C在点Q),(222axx的切线方程是)(2)(222xxxaxy即axxxy2222②若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得1,1222121xxxx，消去2x得方程，0122121axx若△=0)1(244a，即21a时，解得211x，此时点P、Q重合.∴当时21a，1C和2C有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14yx.考点3导数的应用1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例5．函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个[解答过程]由图象可见,在区间（a,b）内的图象上有2个极小值点.故选B.例6.设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O3思路启迪：利用函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值构造方程组求a、b的值．解答过程：（Ⅰ）2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，．解得3a，4b．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx．当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx．所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc．则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc．因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立，所以298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，，．例7．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力[解答过程]由已知得函数()fx的定义域为(1,)，且'1()(1),1axfxax（1）当10a时，'()0,fx函数()fx在(1,)上单调递减，（2）当0a时，由'()0,fx解得1.xa4'()fx、()fx随x的变化情况如下表x1(1,)a1a1(,)a'()fx—0+()fx极小值从上表可知当1(1,)xa时，'()0,fx函数()fx在1(1,)a上单调递减.当1(,)xa时，'()0,fx函数()fx在1(,)a上单调递增.综上所述：当10a时，函数()fx在(1,)上单调递减.当0a时，函数()fx在1(1,)a上单调递减，函数()fx在1(,)a上单调递增.典型例题例8.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为230(m)35.441218＜＜xxxh.故长方体的体积为).230()(m69)35.4(2)(3322＜＜xxxxxxV从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜32时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。5一、选择题1.y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于()A.0B.1C.－1D.22.经过原点且与曲线y=59xx相切的方程是()A.x+y=0或25x+y=0B.x－y=0或25x+y=0C.x+y=0或25x－y=0D.x－y=0或25x－y=03.设f(x)可导，且f′(0)=0,又xxfx)(lim0=－1,则f(0)()A.可能不是f(x)的极值B.一定是f(x)的极值C.一定是f(x)的极小值D.等于04.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为()A.0B.1C.nn)221(D.1)2(4nnn5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处()A、有极大值B、无极值C、有极小值D、无法确定极值情况6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=()A、310B、313C、316D、3197.过抛物线y=x2上的点M（41,21）的切线的倾斜角是()A、300B、450C、600D、9008.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是()A、（0，1）B、（-∞，1）C、（0，+∞）D、（0，21）9.函数y=x3-3x+3在[25,23]上的最小值是()A、889B、1C、833D、510、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则()A、c≠0B、当a0时，f(0)为极大值C、b=0D、当a0时，f(0)为极小值11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A、（2，3）B、（3，+∞）C、（2，+∞）D、（-∞，3）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中()A、至少有2个元素B、至少有3个元素C、至多有1个元素D、恰好有5个元素6二、填空题13.若f′(x0)=2,kxfkxfk2)()(lim000=_________.14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.15.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.三、解答题17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内的最大值.19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.20.求函数的导数(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2)y=31xx.21.有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度.22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,(x≠0,n∈N*).23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.26.设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=142xax.(1)求f(α)·f(β)的值；(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？7【参考答案】一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1.答案：B2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=00xy,另一方面，y′=(59xx)′=2)5(4x,故y′(x0)=k,即)5(9)5(40000020xxxxyx或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=53515915,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,53),从而得y′(A)=3)53(4=－1及y′(B)=251)515(42,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－25x.答案：A3.解析：由xfx)0(lim0=－1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时xf)0(＜0,于是当x∈(a,0)时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.答案：B4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=n22,易知fn(x)在x=n22时取得最大值，最大值fn(n22)=n2(n22)2(1－n22)n=4·(n22)n+1.答案：D5、B6、A7、B8、D9、B10、C11、B12、C二、13.解析：根据导数的定义：f′(x0)=kxfkxfk)()]([(lim000(这时kx).1)(21)()(lim21])()(21[lim2)()(lim0