平面几何中的向量方法

平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。引入问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,ACABAD,DBABADABCD猜想：1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCAB分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设,其它线段对应向量用它们表示。bADaAB,例题ABDCbADaAB,解:设，则baDBbaACaDAbBC;,,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa∴222222BDACDACDBCAB例题用向量法解平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形想一想ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC例2如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？解：设则,,,ABaADbARrACab由于与共线，故设ARAC(),rnabnR又因为共线，所以设EREB与12()ERmEBmab因为所以ARAEER1122()rbmab1122()()nabbmab因此ABCDEFRT102()()mnmanb即,ab由于向量不共nmmn0102线，13nm解得：111333,,ARACTCACRTAC所以同理于是故AT=RT=TCABCDEFRT证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量即CBAC0CBAC解：设则，由此可得：bOCaAO,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即，∠ACB=90°0CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？ab练习（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：小结课本习题2.5A组1,2作业