26-2.5.1平面几何中的向量方法

1OABaaabbb2.5.1平面几何中的向量方法教材分析本节内容是数学4第二章平面向量第5节平面向量应用举例第1小节，是在学习了平面向量定义运算数量积的基础上，展示平面向量在平面几何和物理中的应用.向量作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的很多章节，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，特别是在解决几何问题中的工具作用更为突出．这种数学方法，把几何从思辨数学化成算法数学，降低了思考问题的难度，推进了几何研究的发展．本节内容是中学数学知识网络的一个交汇点，因此在中学数学教材中的地位也越来越重要．本节也为学生以后学习向量在三角函数、立体几何、复数等章节内容中的应用奠定了基础．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要探究用向量方法解决平面几何问题.教学目标重点:用向量方法解决平面几何问题的基本方法和基本步骤．难点：如何构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题．知识点：运用向量方法解决平面几何问题三步曲．能力点：发展创新意识,提高转化与化归能力.教育点：通过对新方法的探求，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．自主探究点：三角形四心的向量表示．考试点：利用向量的几何意义进行向量的线性运算与数量积运算．易错易混点：向量基底的选择．拓展点：利用向量证明有关不等式．教具准备三角板、圆规、多媒体课堂模式探究导学一、复习引入【师生活动】我们学习了向量的线性运算与数量积运算，１．你能说出它们的几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？（１）向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则（２）向量减法的法则：三角形法则与平行四边形法则OABaB’bbba+(b)ab2（３）平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,使a=11e22e.（４）向量的数量积及其几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影cosb的乘积．数量积的作用求模求夹角证垂直．(5)向量的模：aaa，22yxa，221221)()(yyxxa．2、向量的代数身份是通过什么来实现的？答：坐标表示．当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算．【设计说明】教师设问，学生思考画图，教师在多媒体实物展示学生的复习成果．【设计意图】设置问题，点明主题，让学生回顾学过的知识，明确探究方向，有利于本节课的探究．二、探究新知【情境引入】长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？答：222222ABBCCDDAACBD【师生活动】教师设问，学生画图，集体回答，教师教师在多媒体书写公式结论．【设计意图】长方形是特殊的平行四边形，公式结论是学生已知的，为研究平行四边形这个一般问题奠定了基础，体现了由特殊到一般的数学思想．探究１.例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图,ACABADDBABAD，类比长方形对角线的长度与两条邻边长度之间的上述关系，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：题中的几何问题可转化为向量问题吗？【师生活动】分析：不妨设设,ABaADb，（选择这组基底，其它线段对应向量用它们表示．）则ABCDABCD3,ACabDBab，2222,ABaADb．涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算22,ACDB．解：222()()2ACACACababaaabbabbaabb（１）同理2DB222.aabb（２）观察(1),(2)两式的特点，我们发现，(1)(2)得2222222()2()ACDBabABAD即平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．【设计说明】教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系，利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和，并运用向量方法进行证明．【设计意图】借助平行四边形这个向量加法与减法的几何模型，引导学生用向量的数量级证明与长度有关的几何问题，加强向量方法的“三步曲”的应用．思考2：向量也可以坐标运算，那么本题可以如何建立直角坐标系，设点的坐标转化为向量的坐标进行运算呢？解:如图建立平面直角坐标系,设(,0),(,)BaDbc,则(,)Cabc222ABBD|222ADAB2222||||||||ADDCBCAB【师生活动】教师可引导学生思考探究，利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题，可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标，如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利(,0),(,),ABaADbc(,),(,)ACabcDBabc22||,||,ABaADbc2222||(),||()ACabcDBabc2222ABBCCDDA222222(||||)2(),ABADabc22ACBD22222||||2()ACDBabc4用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．【设计意图】进一步调动学生的思维，引导学生应用不同的向量方法解决典型问题，有利于培养学生的发散思维能力．思考３：如果不用向量方法，你能用其他方法证明上述结论吗？证明:作CFAB于F，DEAB于E，则RTADERTBCF，,ADBCAEBF，由于22222()ACAFCFABBFCF2222222ABBFABBFCFABBCABBF22222222()2BDBEDEABAEDEABABAEAEDE222ABABAEAD222ABABAEBC22222()ACBDABAD.【师生活动】教师可引导学生思考探究，学生作辅助线，利用平面几何勾股定理解决问题．【设计意图】教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，在培养学生发散思维的同时，让学生体会向量法解决几何问题的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．三、理解新知【师生活动】师：通过以上问题的解决，我们总结一下运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？生：运用向量方法解决平面几何问题“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．师生共同简述：形到向量向量的运算向量和数到形．【设计意图】总结解题方法，加深对用向量方法处理平面几何问题的一般步骤的理解，突破重难点．四、运用新知探究２．例２如图，平行四边形ABCD中，点,EF分别是,ADDC边的中点，,BEBF分别与AC交于,RT两点，你能发现,,ARRTTC之间的关系吗？猜想：ARRTTC【师生活动】分析：由于,RT是对角线AC上的两点，要判断,,ARRTTC之间的关系，只需分别判ABCDEFRT5断,,ARRTTC与AC的关系即可解：第一步,建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：设,,,ABaADbARrACab则.第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系:由于AR与AC共线,所以我们设又因为12EBABAEabER与EB共线,所以我们设1()2ERmEBmab因为ARAEER所以11()22rbmab因此11()()22nabbmab,即1()()02mnmanb.由于向量,ab不共线,要使上式为0,必须0102nmmn.解得13nm.所以13ARAC.同理13TCAC.于是(),ARrnACnabnR613RTAC.第三步,把运算结果“翻译”成几何关系ARRTTC.【设计说明】此题对学生而言有一定难度，先用几何画板动态演示并展示测量的数据，让学生观察猜想出结论，师生共同分析，指导学生如何将几何问题化归为向量问题，突破本题难点，引导学生用待定系数法表示两平行向量，进而解答出此题．通过“举一反三”，让学生熟练应用此题中的数学思想和方法．【设计意图】通过此题进一步熟悉向量法的“三步曲”的应用，同样重要的是此题应用到了平行向量基本定理和平面向量基本定理，用向量的数乘表示其平行向量的重要数学思想，和待定系数法这个重要的数学方法．通过此题启发学生灵活运用向量工具解几何问题．变式练习1.已知AC为圆O的一条直径，ABC为圆周角.求证：90ABC．证明：设,,AOaOCOBbab,ABAOOBabBCab，22()()0ABBCabababABBC，90ABC．【设计意图】让学生学会灵活的利用圆的特性、线段垂直的关系等知识巧妙地将几何问题化归为向量问题.变式练习２.已知在等腰ABC中，,BBCC是两腰上的中线,且BBCC,求顶角A的余弦值．解:建立如图所示的平面直角坐标系,取(0,),(,0)AaCc则(,0)Bc，(0,),(,),(,0),(2,0)OAaBAcaOCcBCc．因为,BBCC′都是中线，所以'BB21()BCBA3(,)22ca，,同理'CC3(,)22ca．因为BBCC，ABOC7所以229044ac,229ac．所以cosA54299||||2222222cccccacaACABACAB．【设计说明】教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成.【设计意图】本例利用的方法与探究2有所不同，但其本质是一致的，比较两种解法的异同，找出其内在的联系，以达融会贯通,灵活运用．课堂练习：1．向量,,bOBaOA且不共线,则AOB的平分线OM可表示为（D）.,.,ababABabab..()baababCDabab２．如图，已知,,ADBECF是ABC三条高．求证：,,ADBECF交于一点．分析：设AD与BE交于H，只须证ABCH由此可设aCA，bCB，hCH如何证ABCH？如何证0ABCH？利用AH⊥CB，BH⊥CA．（解答过程由学生完成）五、课堂小结1.用向量法解平面几何问题的基本思路用向量方法解决平面几何的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.简述：形到向量向量的运算向量和数到形．2.本节课用到了哪些思想方法?平面向量的基本定理ABCDEFH8如果12,ee是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,,使1122aee．说明：(1)作为基底的两个向量必须不共线(2)用基底可以表示平面内任意一个向量（3）基底给定时,分解形式唯一.当要表示同一平面内的多个向量时，要想到“向量基底化”思想．【设计意图】使学生把解题过程中的思想方法总结出来，达到思维能力的提升，从而更广泛的应用于以后的学习中．六、布置作业1．必做题：课本P113A组1、2２．选做题：设过AOB的重心G的直线与边,OAOB分别交于点,PQ，设,OPxOAOQyOB，AOB与OPQ的面积分别是,ST，证明：（1）311yx；（2）STS219