多元线性回归模型

§3.1多元线性回归模型一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定一、多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：ikikiiiXXXY22110i=1,2…,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归系数（regressioncoefficient）。ikikiiiXXXY22110也被称为总体回归函数的随机表达形式。它的非随机表达式为:kikiikiiiiXXXXXXYE2211021),,|(表示：各变量X值固定时Y的平均响应。习惯上：把常数项（或截距项）看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是：模型中解释变量的数目为（k+1）总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为:μXβY其中j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kkβ121nnμ用来估计总体回归函数的样本回归函数为：121..nnyyyYkikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110其随机表示式:ikikiiiieXXXYˆˆˆˆ22110ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。样本回归函数的矩阵表达:βXYˆˆ或eβXYˆ其中：kˆˆˆˆ10βneee21e二、多元线性回归模型的基本假定假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性。0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji,,2,1,假设3，解释变量与随机项不相关0),(ijiXCovkj,2,1假设4，随机项满足正态分布),0(~2Ni上述假设的矩阵符号表示式：假设1，n(k+1)维矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设2，0)()()(11nnEEEEμnnEE11)(μμ21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn回忆线性代数中关于满秩、线性无关!对角线说明了扰动项的同方差性！对角线之外说明了扰动项的序列无关性！假设4，向量有一多维正态分布，即),(~2I0μN假设3，E(X’)=0，即0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE转置黑板上推导！假设5，回归模型的设定是正确的。第二节多元线性回归模型的参数估计任务方法模型结构参数012k、、、、的估计随机误差项的方差2的估计普通最小二乘法一、参数的普通最小二乘估计二、参数的普通最小二乘估计量的性质三、普通最小二乘样本回归函数性质五、样本容量问题四、随机误差项的方差的普通最小二乘估计内容估计方法：3大类方法：OLS、ML（最大似然法）或者MM（矩估计法）–在经典模型中多应用OLS–在非经典模型中多应用ML或者MM–在本节中，ML与MM为选学内容),....,1,0(ˆkjj多元线性回归模型参数估计的任务：1，求结构参数的估计量2，求得随机干扰项的方差估计2ˆ2ˆ一、普通最小二乘估计•对于随机抽取的n组观测值kjniXYjii,2,1,0,,,2,1),,(如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：KikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110i=1,2…n•根据最小二乘原理，参数估计值应该是右列方程组的解0ˆ0ˆ0ˆ0ˆ210QQQQk其中2112)ˆ(niiiniiYYeQ2122110))ˆˆˆˆ((nikikiiiXXXY最小化问题的一阶条件。•于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(221102222110112211022110解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值$,,,,,jj012。k□正规方程组的矩阵形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111ˆˆˆ即YXβX)X(ˆ由于X’X满秩，故有YXXXβ1)(ˆ⃟正规方程组的另一种写法对于正规方程组βXXYXˆβXXeXβXXˆˆ于是0eX或(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法。(*)(**)0ie0iijieX二、参数估计量的性质在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计具有：线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性CYYXXXβ1)(ˆ其中,C=(X’X)-1X’为一仅与固定的X有关的行向量。可见，参数估计量是被解释变量Y的线性组合。2、无偏性βμXXXβμXβXXXYXXXβ11)()())()(())(()ˆ(1EEEE等于0，因为解释变量与随机扰动项不相关。这里利用了假设:E(X’)=03、有效性（最小方差性）ˆ的方差-协方差矩阵为2ˆˆˆˆˆ{[][]}ˆˆ[]{[][]}[]()CovEEEEEEE-1-1-1-1-1-1-1（）（）（）()()（）（）（）（）（）（）（）XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX2-1-1（）（）XXXX（3-16）其中利用了YXXXβ1)(ˆμXXXβμXβXXX11)()()(和Iμμ2)(E证明过程略！三、普通最小二乘样本回归函数性质01122ˆˆˆˆˆiiikkiYXXX1．样本回归线通过样本均值点，即点（Y1X2XkX，，，，）满足。样本回归函数。3．残差和为零，即10niie。2．被解释变量的估计的均值等于被解释变量的均值，即ˆYY。4．各解释变量与残差的乘积之和为零，即1012njiiiXejk（，，，）。1ˆ0niiiYe5．被解释变量的估计与残差的乘积之和为零，即。四、随机误差项的方差的普通最小二乘估计多元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估计量为221ˆ1niienk（3-18）是一个无偏估计量。容易看出，多元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估计量，与一元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估计量一致。因为在一元线性回归模型中k=1。所以，残差平方和可用矩阵表示为21niieee（3-19）五、样本容量问题样本容量越大，样本观测数据对经济活动的反映越全面，从样本观测数据中发现规律的可能性就越大，计量经济研究的结果就越可靠。参数估计的最小样本容量要求是1nk8nk例如，模型的检验要求有足够大的样本容量，z检验在n30时不能使用，因为n30时构造不出用于检验的服从标准正态分布的统计量；t检验在时才比较有效，因为时t分布才比较稳定。8nk30n31nk（）一般经验认为，当或者至少时，才能满足基本要求。§3.3多元线性回归模型的统计检验一、拟合优度检验二、方程的显著性检验(F检验)三、变量的显著性检验（t检验）四、参数的置信区间•多元线性回归模型的参数估计出来后，即求出样本回归函数后，还需进一步对该样本回归函数进行统计检验，以判定估计的可靠程度。一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数总离差平方和的分解残差离差分解111ˆˆ000nnniiiiiiiieYYYeYe（）所以，在多元线性回归模型中，依然有2211221112211ˆ[]ˆˆ2ˆnniiiiinnniiiiiiinniiiiyYYeYYeeYYYYe（）（）（）（）（3-20）即TSSESSRSS（3-21）可决系数TSSRSSTSSESSR12该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大（Why?)因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少。这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，因此在多元回归模型之间比较拟合优度，R2就不是一个合适的指标，必须加以调整。调整的可决系数（adjustedcoefficientofdetermination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:)1/()1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。显然，如果增加的解释变量没有解释能力，则对残差平方和RSS的减小没有多大的帮助，却增加了待估参数的个数，从而使得有较大幅度的下降。2R11)1(122knnRR没有绝对的标准，要看具体的情况而定。模型的拟合优度并不是判断模型质量的唯一标准，有时甚至为了追求模型的经济意义，可以牺牲一点拟合优度。*2、赤池信息准则和施瓦茨准则为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:赤池信息准则（Akaikeinformationcriterion,AIC）nknAIC)1(2lnee施瓦茨准则（Schwarzcriterion，SC）nnknAClnlnee这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或SC值时才在原模型中增加该解释变量。二、方程的显著性检验(F检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。1、方程显著性的F检验即检验模型Yi=0+1X1i+2X2i++kXki+ii=1,2,,n中的参数是否显著不为0。方程的显著性检验所应用的方法仍是数理统计学中的假设检验。k,.....1可提出如下原假设与备择假设：H0：1=2==k=0H1：j(j=1,2,…..k)不全为0F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS由于回归平方和2ˆiyESS是解释变量X的联合体对被解释变量Y的线性作用的结