高考数学复习点拨-求函数解析式的几种常用方法.doc

求函数解析式的几种常用方法解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，与所选取的字母无关，是函数与自变量之间建立联系的桥梁．由已知条件求函数的解析式，是函数这部分内容的一个基本问题，它不仅能深化函数概念，还常常联系着一些重要解题思维方法和技巧，也是高考常考的题型之一．因此，对这个问题进行探讨是很有必要的．本文介绍几种求函数解析式的常用方法，供同学们学习时参考．一、换元法如果已知复合函数f[g(x)]的表达式时，常用换元法求出函数f(x)的解析式．其解题基本思路是：先令g(x)=t，从中求出x，再代入f[g(x)]中即得f(x)的解析式．例1已知f(x+x1)=x2+21x，求函数f(x)的解析式．解：t=x+x1，又x2+21x=(x+x1)2－2，且|x+x1|≥2，即|t|≥2．∴f(t)=t2－2(|t|≥2)，即f(x)=x2－2(|x|≥2)．评注：在用换元法解题时，一定要注意定义域的变化，注意前边的x与后边的x的区别与联系．所求的函数关系要注明定义域．二、特殊值法当所给函数含有两个不同的变量时，常用特殊值代入法求f(x)的解析式，其解题基本思路是：令变量取某些特殊值，从而减少未知元，求出f(x)的解析式．例2已知f(x)是定义在R上的函数，且f(0)=1，f(y－x)=f(y)－xeyx3，求函数f(x)的解析式．解：取x=y，则由已知等式，有f(0)=f(x)－xex4，∵f(0)=1，∴f(x)=1+xex4．三、构建方程法通过赋予不同变量构造一组方程，通过解新旧方程的方法求出f(x)的解析式．例3设f(x)满足2xf(x)－3f(x1)=x2+1①，求函数f(x)的解析式．解：用x1替换①式中的x，得2x1f(x1)－3f(x)=21x+1，即2f(x1)－3xf(x)=x1+x②，①、②两个方程联立，消去f(x1)得：f(x)=－53－52x－x52－253x．四、待定系数法如果已知函数解析式的结构时，常用待定系数法求f(x)的解析式，其解题基本思路是：先设出f(x)的一般表达式，再根据已知条件确定出表达式中的参数即得f(x)的解析式．例4设f(x)是x的二次函数，g(x)=2x·f(x)，且g(x+1)－g(x)=21x·x2，求函数f(x)和g(x)的解析式．解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则g(x)=2x·(ax2+bx+c)．由g(x+1)－g(x)=21x·x2得：21x·[a(x+1)2+b(x+1)+c]－2x·(ax2+bx+c)=21x·x2，即ax2+(4a+b)x+(2a+2b+c)=2x2．这是关于x的恒等式，比较系数，得.022,04,2cbabaa.21,8,2cba∴f(x)=2x2－8x+12，g(x)=21x·(x2－4x+6)．