高一数学反函数教案

一.教学内容：反函数二.本周重难点：1.重点：反函数的概念，互为反函数的函数图象间的关系。2.难点：求反函数的方法，解决有关反函数的问题。【典型例题】[例1]求下列函数的反函数。（1）252xxy（2x）（2）xxy2（1x）（3）2361xy（06x）（4）142xxy（25x）解：（1）由252xxy得52)2(yxy∴252yyx又2x时，229229)2(2252xxxxxy即原函数的值域}2|{yy（2）xxy2（1x）由xxy2得022yxx∴41)21(22yx∵1x∴021x∴41212yx∴21412yx又41)21(22xxxy在,1上是增函数∴值域为,2∴所求反函数21412xy（2x）（3）由2361xy得36)1(22xy∴22)1(36yx∵06x∴2)1(36yx又]0,6[x时，2361xy为减函数∴值域为]1,5[y∴所求反函数为2)1(36xy（15x）（4）由3)2(1422xxxy，有3)2(2yx∵25x∴023x∴32yx∴32yx又]2,5[x时，3)2(2xy为减函数∴值域为]6,3[[例2]已知mxy21和31nxy互为反函数，求m，n的值。解：由mxy21得myx22∴mxy21的反函数是mxy22（Rx）∵mxy22与31nxy表示同一函数∴3122mn∴261nm[例3]已知：23)(xxf，求)]([1xff的表达式。解：xxff)]([1（Rx）[例4]2)(xxxf，求)31(1f的值。解：方法一：由2)(xxxf得xxxf12)(1∴1)31(1f方法二：312xx∴1x[例5]若点（1，2）既在baxy的图象上，又在其反函数的图象上，求a、b的值。解：∵点（1，2）（2，1）都在baxy的图象上∴122baba∴73ba[例6]已知函数mxxy25的图象关于直线xy对称，求实数m的值。解：∵函数mxxy25的图象关于直线xy对称∴它的反函数是它本身在mxxy25中，令5x得0y，于是点（5，0）在函数的图象上，所以点（5，0）关于直线xy的对称点（0，5）也在函数的图象上。将0x，5y代入mxxy25得1m[例7]设132)(xxxfy，)(xgy的图象与)1(1xfy的图象关于直线xy对称，求)3(g的值。解：∵1)()(1)1(1yfxyfxxfy将x、y互换应该就是)(xg即1)(xfy∴271)3()3(fg[例8]已知1)(axxaxf的反函数)(1xf的图象的对称中心是（1，3），求a的值。解：∵)(1xf的对称中心为（1，3）∴)(xf图象的对称中心为（3，1）又1)1(1)1(1)]1([1)(axaxaxaxxaxf∴31a即2a【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.选择题：1.函数)1(22xxxy的反函数是（）A.)1(11xxyB.)1(11xxyC.)1(11xxyD.)1(11xxy2.已知函数xxxf121)(，函数)(xg的图象与函数)1(1xfy的图象关于直线xy对称，则)2(g等于（）A.45B.2C.1D.413.已知cxbaxxf)(（a、b、c是常数）的反函数352)(1xxxf，那么（）A.3a，5b，2cB.3a，2b，5cC.2a，3b，5cD.2a，5b，3c4.函数)(xfy的反函数为)(xg，则)(xfy的反函数是（）A.)(xgyB.)(xgyC.)(xgyD.)(xgy二.填空题：1.已知函数)(xfy有反函数)(1xfy，则)]([1mff2.点P在321)(xxf的图象上，又在其反函数的图象上，则P点的坐标为3.直线2axy与直线bxy3关于直线xy对称，则a，b4.若)1(11)(2xxxf，则)1(1f三.解答题：1.求下列函数的反函数。（1）)11(32xxy（2）)1(522xxxy2.已知函数25)(xmxxf（1）求函数)(xfy的反函数)(1xfy的值域（2）若（2，3）是反函数图象上的一点，求函数)(xfy的值域3.若函数)(xf在其定义域上是单调递增函数，求证它的反函数)(1xf也是增函数。试题答案一.1.D2.B3.A4.C二.1.m2.（2，2）3.31；64.2三.1.（1）)15(23212xxy（2）41xy（4x）2.解：（1）由函数25)(xmxxf得)(xfy的定义域为}2|{xx∴它的反函数)(1xfy的值域为}2|{yy（2）若（2，3）是反函数图象上的一点，则（3，2）在原来的函数)(xfy的图象上，于是23532m，即5m，所以255)(xxxf，xxxf552)(1∵反函数)(1xfy的定义域为}5|{xx∴原函数)(xfy的值域为}5|{yy3.解：在)(1xf的定义域内任取1x、2x，且21xx需证)()(2111xfxf为此令111)(yxf，221)(yxf于是有11)(xyf，22)(xyf∴)()(21yfyf而)(xf在其定义域上是单调函数∴21yy即)()(2111xfxf∴)(1xf也是增函数