2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛数学专业(A类)试题

12019年第十一届全国大学生数学竞赛数学专业竞赛（A卷）试题一、（本题15分）空间中有两个圆球面1B和2B，2B包含在1B所围球体的内部，两球面之间的闭区域为D.设B是含在D中的一个圆球，它与球面1B和2B均相切.问：（i）B的球心轨迹构成的曲面S是何种曲面；（i）1B的球心和2B的球心是曲面S的何种点.证明你的论断.二、(本题15分)设0,()fx在0,1上非负，有二阶导函数，00f，且在0,1上不恒为零。求证：存在(0,1)使得()(1)()().fff.三、(本题15分)设A为n阶复方阵，px为IAA的特征多项式，其中A表示A的共辄矩阵.证明：px必为实系数多项式.四、(本题20分)已知1f为实n元正定二次型.令{|Vff为实n元二次型，满足：对任何实数k有1kff属于恒号二次型}，这里恒号二次型为0二次型，正定二次型及负定二次型的总称.证明：V按照通常的二次型加法和数乘构成一个实向量空间，并求这个向量空间的维数.五、(本题15分)设0,(0,1)，实数列nx满足111,1nnnhxxnnn其中nh有正的上下界.证明：nnx有界.六、(本题20分)设1()1xfxe.(i)证明fx是[0,)上的凸函数.进一步，证明当,0xy时成立()()(0)().fxfyffxy(ii)设3n，试确定集合111|0,,,.nnkknkkEfxxxx