浙江大学-计算机-考博试题-计算理论及答案

计算理论字母表：一个有穷的符号集合。字母表上的字符串是该字母表中的符号的有穷序列。一个字符串的长度是它作为序列的长度。连接反转Kleene星号L*，连接L中0个或多个字符串得到的所有字符串的集合。有穷自动机：描述能力和资源极其有限的计算机模型。有穷自动机是一个5元组M=(K,∑,,s,F),其中1）K是一个有穷的集合，称为状态集2）∑是一个有穷的集合，称为字母表3）是从KX∑→K的函数，称为转移函数4）s∈K是初始状态5）FK是接收状态集M接收的语言是M接收的所有字符串的集合，记作L(M).对于每一台非确定型有穷自动机，有一台等价的确定型有穷自动机有穷自动机接受的语言在并、连接、Kleene星号、补、交运算下是封闭的。每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有穷自动机。一个语言是正则的当且仅当它被有穷自动机接受。正则表达式：称R是一个正则表达式，如果R是1）a，这里a是字母表∑中的一个元素。2），只包含一个字符串空串的语言3），不包含任何字符串的语言4)(R1∪R2),这里R1和R2是正则表达式5）(R10R2),这里R1和R2是正则表达式6）(R1*),这里R1*是正则表达式一个语言是正则的当且仅当可以用正则表达式描述。2000年4月1、根据图灵机理论,说明现代计算机系统的理论基础。1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文，题为《论数字计算在决断难题中的应用》。在这篇开创性的论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，并提出著名的“图灵机”(TuringMachine)的设想。“图灵机”不是一种具体的机器，而是一种思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算机装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。这个装置由下面几个部分组成：一个无限长的纸带，一个读写头。（中间那个大盒子），内部状态（盒子上的方块，比如A,B,E,H），另外，还有一个程序对这个盒子进行控制。这个装置就是根据程序的命令以及它的内部状态进行磁带的读写、移动。工作带被划分为大小相同的方格，每一格上可书写一个给定字母表上的符号。控制器可以在带上左右移动，它带有一个读写出一个你期待的结果。这一理论奠定了整个现代计算机的理论基础。“图灵机”更在电脑史上与“冯·诺依曼机”齐名，被永远载入计算机的发展史中。图灵机在理论上能模拟现代数字计算机的一切运算,可视为现代数字计算机的数学模型。实际上,一切可计算函数都等价于图灵机可计算函数,而图灵机可计算函数类又等价于一般递归函数类。2、说明按乔姆斯基分类，语言、文法、自动机的关系乔姆斯基将语言定义为，按一定规律构成的句子或符号串string的有限的或无限的集合，记为L。数目有限的规则叫文法，记为G。刻画某类语言的有效手段是文法和自动机。文法与自动机的关系:形式文法是从生成的角度来描述语言的,而自动机是从识别的角度来描述语言的.文法和自动机是形式语言理论的基本内容。对某种语言来说,如果存在一个该语言的生成过程,就一定存在一个对于它的识别过程.就描述语言来讲,形式语言和自动机是统一的.文法在形式上定义为四元组：G＝（VN,VT,S,P）,VN是非终极符号，VT是终极符号，S是VN中的初始符号，P是重写规则。文法是定义语言的一个数学模型，而自动机可看作是语言的识别系统。对于一个文法产生的语言，可以构造相应自动机接受该语言：一个自动机接受的语言，可以构造对应的文法产生该语言。一定类型的自动机和某种类型的文法具有等价性。2、乔姆斯基根据转换规则将文法分作4类。每类文法的生成能力与相应的语言自动机（识别语言的装置）的识别能力等价，即4类文法分别与4种语言自动机对应：类型文法自动机0型无限制文法图灵机1型上下文有关文法线性有界自动机2型上下文无关文法后进先出自动机3型有限状态的正则文法有限自动机最常见文法的分类系统是诺姆·乔姆斯基于1956年发展的乔姆斯基谱系，这个分类谱系把所有的文法分成四类型：无限制文法、上下文相关文法、上下文无关文法和正规文法。四类文法对应的语言类分别是递归可枚举语言、上下文相关语言、上下文无关语言和正规语言。这四种文法类型依次拥有越来越严的产生式规则，同时文法所能表达的言也越来越少。尽管表达能力比无限文法和上下文相关文法要弱，但由于高效率的实现，四类文法中最重要的上下文无关文法和正规文法。例如对下文无关语言存在算法可以生成高效的LL分析器和LR分析器。3、证明HALT(XR,X)不是可计算的。4、（1）、证明递归集都是递归可枚举集。（2）、举例属于递归可枚举集但不是递归集的集合，并证明之。5、（1）、证明L＝{(a,b)*|a,b的个数相同}为上下文无关语言。（2）、并证明其不是正则的。P56假设L是正则的，则根据在交下的封闭性，L∩a*b*也是封闭的，而后者正好是L1={aibi:i≧0},假设L1是正则的，则存在满足泵引理的整数n。考虑字符串w=anbn∈L。根据定理可以写成w=xyz使得|xy|≦n，且y≠e，即y=ai，其中i＞0.但是xz=an-ibnL，与定理矛盾。2000年10月1、（1）给出图灵机的格局、计算及图灵机μ计算函数f的精确定义。(2)对图灵机模型而言，church论题是什么？（3）当x是完全平方时值为3x，否则为3x+1证明其是原始递归函数。2、证明φ（X，X）是不可计算的。3、证明L={ambn|m,n0,m≠n}是上下文无关的，但不是正则的。利用上下文无关语言在并、连接、Kleene星号下是封闭的。正则语言在交运算下封闭。4、A为有穷字母表，L是A*的无穷子集，（1）证明存在无穷序列ω0,ω1,ω2…，它由L的所有字组成，每个字恰好在其中只出现一次。（2）是否存在从L构造序列ω0,ω1,ω2…,的算法（即i由计算ωi），为什么？2001年4月1、（1）当x是完全平方时值为2x，否则为2x+1证明其是原始递归函数。（2）对图灵机模型而言，church论题是什么？（3）通用图灵机的描述。2、（1）用有穷自动机构造正则语言，以a2b结尾的字符串组成的正则语言L（2）L={a3nbn|n0}为上下文无关,但不是正则。3、A为字母表，L为A*上任意的语言。阐述其乔姆斯基层次及用可计算性表述它们的关系。4、证明不存在可计算函数h(x)，使φ(x,x)↓时h(x,x)=φ(x,x)+a,a∈N,φ(x,y)是编号为y输入为x时的程序。2001年10月1、{a，b}上递归枚举语言是否可数？证明2、L={a，b，c数目相同的语言}是否CFL（上下文无关）？证明p95证：不是上下文无关的。假设L是上下文无关的，则它与正则语言a*b*c*的交也是上下文无关的。令L1={anbncn:n≧0}假设L1是上下文无关语言。取常数p，ω＝apbpcp,∣ω∣＝3p≥p将ω写成ω＝uvxyz使得v或y不是空串且uvixyiz∈L1I=0,1,2……其中∣xy∣≥1且∣xuy∣≤p.有两种可能他们都导致矛盾。如果vy中a、b、c三个符号都出现，则v和y中必有一个至少含有abc中的两个符号。于是uv2xy2z中abc的排列顺序不对，有的b在a前或c在a或b前。如果vy中只出现a、b、c中的一个或两个符号，则uv2xy2z中a、b、c的个数不相等。∴与L1是上下文无关语言假设矛盾。综上，L不是2型语言。3、被2，3整除的非负整数的十进制表示的集合是否正则。∑={1，2，……9}，L∑*，令L1是非负整数十进制表示的集合，容易看到L1=0∪{1，2，……9}∑*，由于L1是用正则表达式表示的，故它是一个正则语言。令L2是可以被2整除的非负整数的十进制表示的集合。L2正好是以0，2，4，6，8结尾的L1的成员组成的集合，即L2=L1∩∑*{0，2，4，6，8}，根据正则语言在交运算下封闭原则，故L2也是一个正则语言。令是可以被3整除的非负整数的十进制表示的集合.一个数可以被3整除当且仅当它的数字之和可以被3整除。构造一台有穷自动机，用它的有穷控制器保存输入数字的模3和。L3是这台有穷自动机接受的语言与L1的交。最后L=L2∪L3，它一定是个正则语言。4、NonSelfAccepting是否递归集合2002年4月1．能被5整除的字符串是正则集吗2．用图灵机表示下列字符串。Φ，e，{a},{a}*3．s-ss,s-asb,s-abs,证明由s推得的字符串不可能以abb开头。（可能记忆有误，具体形式就是这样）。4证明不是所有的递归可枚举集都是递归的。定理：语言不是递归的；所以，递归语言类是递归可枚举语言类的真子集。2002年10月1、什么是计算？计算理论研究的内容和意义是什么？为什么要使用计算的抽象模型？2、请写出一个正则表达式，描述下面的语言：在字母表{0,1}上，不包含00子串且以1结尾。4、语言L={an:n是素数}是不是正则语言，是不是上下文无关的？5、一个succ(n+1)的组合Turing机描述，说出它的作用。P1276、什么是Turing机的停机问题？它是可判定的么？为什么？H={“M”“w”：Turing机M在输入w上停机}，ATM＝{M,ω|M是一个TM，且M接受ω}证明：假设ATM是可判定的，下面将由之导出矛盾。设H是ATM的判定器。令M是一个TM，ω是一个串。在输入M,ω上，如果M接受ω，则H就停机且接受ω；如果M不接受ω，则H也会停机，但拒绝ω。换句话说，H是一个TM使得：接受如果M接受ωH(M,ω)=拒绝如果M不接受ω现在来构造一个新的图灵机D，它以H作为子程序。当M被输入它自己的描述M是，TMD就调用H，以了解M将做什么。一旦得到这个信息，D就反着做，即：如果M接受，它就拒绝；如果M不接受，它就接受。下面是D的描述。D＝”对于输入M，其中M是一个TM：1)在输入M,M上运行H。2)输出H输出的相反结论，即，如果H接受，就拒绝；如果H拒绝，就接受。”总而言之，接受如果M不接受MD(M)=拒绝如果M接受M当以D的描述D作为输入来运行D自身时，结果会怎样呢？我们得到：接受如果D不接受MD(D)=拒绝如果D接受M不论D做什么，它都被迫相反地做，这显然是一个矛盾。所以，TMD和TMH都不存在。它是不可判定的。假设H是递归的，那么H1={“M”：Turing机M在输入字符串“M”上停机}也是递归的。H1表示对角化程序的halts（X，X）部分。假设存在判定H的Turing机M0，那么判定H1的TuringM1只需要把输入字符串检查一个图灵机是否接受一个给定的串问题。在证明之前，先来证明ATM是图灵可识别的。这样，定理5.9表面识别器确实比判定器更强大。要求TM在所以输入上都停机限制了它能够识别的语言种类。下面的图灵机U识别ATM.U=“对于输入M,ω,其中M是一个TM，ω是一个串：1)在输入ω上模拟M；2)如果M进入接受状态，则接受；如果M进入拒绝状态，则拒绝。”注意，如果M在ω上循环，则机器U在输入M,ω上循环，这就是U不判定ATM的原因。假如M知道自己在ω上不停机，它能拒绝ω，但事实上，它不知道。所以ATM有时被称为停机问题。7、证明这个问题不可判定：一个Turing机半判定的语言等于这样的一个语言，这个语言是w和w的转置的连接。定理：任何递归或递归可枚举语言，以及任何递归函数，分别可用随机存取Turing判定、半可判定和计算。1、判定下述语言是否正则：包含aaaaa子串的语言L。2、画出判定下述语言的图灵机：空集，e，a。3、用数学归纳法证明一个上下文无关语言不包含ab子串，语言的描述忘记啦。4、证明H是非递归的。2003年4月1、判断题目，好像有二十分左右，都是书上的概念，譬如：递归语言是递归可枚举语言（错），一个语言如果是正则的，那么它一定是上下文无关语言（对），如果一个语言是图灵可识别的，那么、、、.（）。后面的记不住了。2、证明题，第1个是要证某种语言是正则语言，第2个是证该语言是上下文无关语言，中间还有一个是要证明某种语言是非上下文无关语言（有可能是非正则语言）。最后一个是证