x直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型

1直线和圆锥曲线常考题型分析运用的知识：1、两条直线111222:,:lykxblykxb垂直：则121kk；两条直线垂直，则直线所在的向量120vv2、韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不同的根12,xx，则1212,bcxxxxaa。3、中点坐标公式：1212,y22xxyyx，其中,xy是点1122(,)(,)AxyBxy，的中点坐标。4、弦长公式：若点1122(,)(,)AxyBxy，在直线(0)ykxbk上，则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)[()4]kxxxx或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)[()4]yyyyk。题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点，求m的取值范围解：14mm且。题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N：2yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(0x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0x；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)lykx，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy。由2(1)ykxyx消y整理，得2222(21)0kxkxk①由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410kkk即2104k②由韦达定理，得：212221,kxxk121xx。则线段AB的中点为22211(,)22kkk。线段的垂直平分线方程为：221112()22kyxkkk令y=0,得021122xk，则211(,0)22EkABE为正三角形，211(,0)22Ek到直线AB的距离d为32AB。221212()()ABxxyy222141kkk212kdk22223141122kkkkk解得3913k满足②式，此时053x。题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线:(2)lxtt2与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率32cea，2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为2214xy（II）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线1AM的斜率为1k,则直线1AM的方程为1(2)ykx，由122(2)44ykxxy消y整理得222121(14)161640kxkxk12x和是方程的两个根，21121164214kxk则211212814kxk，1121414kyk，即点M的坐标为2112211284(,)1414kkkk，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为2222222824(,)1414kkkk12(2),(2)ppyktykt12122kkkkt，直线MN的方程为：121121yyyyxxxx，令y=0，得211212xyxyxyy，将点M、N的坐标代入，化简后得：4xt又2t，402t椭圆的焦点为(3,0)43t，即433t故当433t时，MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E：22221xyab(0)ab上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且0ACBC，2BCAC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线3x对称，求直线PQ的斜率。解：(I)2BCAC，且BC过椭圆的中心OOCAC0ACBC2ACO又A(23,0)点C的坐标为(3,3)。A(23,0)是椭圆的右顶点，23a，则椭圆方程为：222112xyb将点C(3,3)代入方程，得24b，椭圆E的方程为221124xy(II)直线PC与直线QC关于直线3x对称，设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k，从而直线PC的方程为：3(3)ykx，即3(1)ykxk，3由223(1)3120ykxkxy消y，整理得：222(13)63(1)91830kxkkxkk3x是方程的一个根，229183313Pkkxk即2291833(13)Pkkxk同理可得：2291833(13)Qkkxk3(1)3(1)PQPQyykxkkxk＝()23PQkxxk＝2123(13)kk2222918391833(13)3(13)PQkkkkxxkk＝2363(13)kk13PQPQPQyykxx则直线PQ的斜率为定值13。题型五：面积问题例题5、已知椭圆C：12222byax（a＞b＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为23，求△AOB面积的最大值。解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，，1b，所求椭圆方程为2213xy。（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，。（1）当ABx⊥轴时，3AB。（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm。由已知2321mk，得223(1)4mk。把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mxxk。22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31kmmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk2422212121233(0)34196123696kkkkkk≤当且仅当2219kk，即33k时等号成立。当0k时，3AB，综上所述max2AB。当AB最大时，AOB△面积取最大值max133222SAB。问题六：范围问题（本质是函数问题）例6、设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点。4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求1PF·2PF的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。解：（Ⅰ）易知2,1,3abc所以123,0,3,0FF，设,Pxy，则22123,,3,3PFPFxyxyxy2221133844xxx因为2,2x，故当0x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPF有最大值1（Ⅱ）显然直线0x不满足题设条件，可设直线1222:2,,,,lykxAxyBxy，联立22214ykxxy，消去y，整理得：2214304kxkx∴12122243,1144kxxxxkk由2214434304kkk得：32k或32k又000090cos000ABABOAOB∴12120OAOBxxyy2121212122224yykxkxkxxkxx22223841144kkkk22114kk∵2223101144kkk，即24k∴22k故由①、②得322k或322k题型七、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）例7、设椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆E的方程为22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条5切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm,则△=222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmxxk,要使OAOB,需使12120xxyy,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,即263m或263m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,222228381318mmrmk,263r,所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足263m或263m,而当切线的斜率不存在时切线为263x与椭圆22184xy的两个交点为2626(,)33或2626(,)33满足OAOB,综上,存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB.因为12221224122812kmxxkmxxk,所以42242423245132[1]34413441kkkkkkk,①0k时22321||[1]1344ABkk因为221448kk所以221101844kk,所以2232321[1]1213344kk,6所以46||233AB当且仅当22k时取”=”.②当0k时,46||3AB.③当AB的斜率不存在时,两个交点为2626(,)33或2626(,)33,所以此时46||3AB,综上,|AB|的取值范围为46||233AB即:4||[6,23]3AB