高一数学竞赛班选拔考试初稿

10年高一数学竞赛班选拔考试考试时间：试卷总分：120班级：姓名：学号：一．填空题（每小题8分，共80分）1.化简：53-535-3的结果是.2.在凸n(n3)边形的所有内角中，锐角的个数最多是个.3.设0a1,0b1，则22222222(1)(1)(1)(1)abababab22（填“≥”，“≤”，“＞”，“＜”，“=”）.4.如下图RtABC中，C为直角，ABC、、所对的边分别为abc、、，已知tanbBa，则tan2B（用abc、、表示）.5.已知：111(20102010)2nnx（n是自然数），那么nxx)1(2=.6.已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O为坐标原点，0120QPO，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为.7.一个一次函数图象与直线54yx平行，与x轴、y轴的交点分别为AB、，并且过点(7,25)，则在线段AB上（包括端点AB、），横、纵坐标都是整数的点有个.8.如图，在平行四边形ABCD中，过ABC、、三点的圆交AD于E，且与CD相切，若4,5ABBE，则ED的长为.9.已知锐角ABC的顶点A到垂心H的距离等于其外接圆半径，则A的度数是.10．已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为AB、，与y轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P，它与轴的另一个交点为D.如果AB恰好为P的直径且2ABCS，则b,c.二．解答题（第11题15分，第12题25分，共40分）11.求证方程3311xy没有正整数解.12.已知abc、、都是正整数，抛物线2yaxbxc与x轴有两个不同的交点AB、,若AB、到原点的距离都小于1，求abc的最小值．10年高一数学竞赛班选拔考试参考答案一．填空题1.153解：5(151)53-5515335-33(151)32.3解：由于任何凸多边形的外角之和都是0360，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个.3.解:借助下图知题中22222222(1)(1)(1)(1)abababab||||||||ODCDADBD(||||)(||||)||||22ODBDCDADOBAC4.bac解：如图，延长CB，以B为圆心，以c为半径作圆交CB的延长线于D，如下图故在RtDCA中，2BD，tantan2BACbDCDac5.1(1)2010n解：2221(201022010)4nnx221122111(201022010)(20102010)44nnnnx11112111(1)[(20102010)(20102010)](1)201022nnnnnnnxx6.(3,2)3,2或(-)解：借助平面直角坐标系我们知道，Q点有两个：图中12QQ与，它们关于y轴对称如图，01120,||2QPOPQ0130QPN，11QN，3PN1(3,2)Q，2(3,2)Q7.4解：在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是74,255xNyN，（N是整数）,在线段AB上这样的点应满足7402550NN且∴754N即2345N，，，8.165解：如图连结AC、CE由AE∥BC，知四边形ABCE是等腰梯形。故AC＝BE＝5又因为DC∥AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4因为2DCADDE，故2165DCDEAD9.060解:锐角ABC的垂心在三角形内部如图，设ABC的外心为O，D为BC的中点,BO的延长线交⊙O于点E连CE、AE则CE//AH，AE//CH则ODCEAHOB20030,60OBDBOD所以060ABEC10.23,1解:(1)首先我们证明点D是定点由题意：易求得点C的坐标为(0,)c，设12(,0),(,0)AxBx则12xxb，12xxc设P与y轴的另一个交点为D,由于ABCD、是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以 OAOBOCOD，则12||0||1||||xxOABcODOCcc因为0c，所以点C在y轴的负半轴上，AECBDOH从而点D在y轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).（2）再求bc、的值因为ABCD，如果AB恰好为P的直径，则CD、关于点O对称，所以点C的坐标为(0,1)，即1c.又222121212||()4()44ABxxxxxxbcb，所以21141222ABCSABOCb解得23b二．解答题11.证：由原方程得22()()11yxyxyx11是质数又因为要验证方程是否有正整数解，故只需考察x,y∈Z的情况故应有22111yxyxyx①或22111yxyxyx②考察第①式：,xyZ∴11y∴2211yxyx故①式没解对于第②式：把1yx代入22311yxyx得到2331330xx，但3不整除1330所以也没有正整数解命题最后得证。12.解:据题意，方程20axbxc有两个相异根，都在(1,0)中故(1)0fabc,1ca且240bac①可见1abc②且ac③121acbac即得2()1ac由③知1ac4a又22514bac现分别取abc、、的最小整数5、5、1经检验，符合题意∴11abc最小