函数的基本性质

单调性与最大(小)值1.3.1第一课时函数的单调性返回目录一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.函数在某个区间是增函数或减函数的性质叫函数的单调性,这个区间叫函数的单调区间.•3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________的，若f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐________的．•4．用定义证明单调性的步骤：__________，________，________，________，________.上升下降取值作差变形定号结论问题2.如图是函数f(x)=x2的图象,(1)当x≤0时,图象是怎样倾斜的?x增大时间,函数值是增大还是减小?如果取x1x2≤0,f(x1)与f(x2)哪个大?(2)当x0呢?xyo(1)当x≤0时,图象左高右低.自变量x增大时,函数值f(x)减小.x1x2≤0时,f(x1)f(x2)f(x1)f(x2).函数f(x)=x2在(-∞,0]上是减函数.(2)当x≥0时,图象左低右高.自变量x增大时,函数值f(x)也增大.x1x2≥0时,f(x1)f(x2).函数f(x)=x2在[0,+∞)上是增函数.x1x2x1x2f(x1)f(x2)例1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?xyo12345-1-2-3-4-5-2-1123解:函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1).其中[-5,-2),[1,3)[1,3),[3,5].是单调减区间,[-2,1),[3,5]是单调增区间.下面我们观察图象上动点P随x坐标的增大,y坐标的变化情况.•3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________的，若f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐________的．•4．用定义证明单调性的步骤：__________，________，________，________，________.上升下降取值作差变形定号结论例3(课本探究).画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.xy1=-11-11xyo22-2-2xy1=解:画出函数的图象如图:xy1=函数的定义域(1)I={x|x0,或x0}.(2)函数在定义域I内的区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数.证明:212111)()(xxxfxf-=-,2112xxxx-=-11-11xyo22-2-2xy1=解:画出函数的图象如图:xy1=函数的定义域(1)I={x|x0,x0}.(2)函数在定义域I内的区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数.证明:212111)()(xxxfxf-=-,2112xxxx-=例3(课本探究).画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.xy1=在区间(-∞,0)上任取x1x20,则x1x20,x2-x10,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),∴函数在(-∞,0)上是减函数.在区间(0,+∞)上任取x1x20,则x1x20,x2-x10,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),∴函数在(0,+∞)上也是减函数.-11-11xyo22-2-2xy1=解:画出函数的图象如图:xy1=函数的定义域(1)I={x|x0,x0}.(2)函数在定义域I内的区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数.证明:212111)()(xxxfxf-=-,2112xxxx-=例3(课本探究).画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.xy1=证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数．•[分析]函数解析式和区间已给出，要证明函数是减函数，只需用定义证明即可．•[证明]设x1x2≤－1，则Δx＝x2－x10，•Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1)•＝2(x－x)＋4(x2－x1)•＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)．•∵x1x2≤－1，x1＋x2＋20，∴Δy0.•∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．•用定义证明函数的单调性•证明含参数的函数的单调性已知函数f(x)＝axx2－1(a为常数且a≠0)，试判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性．[解析]任取x1、x2，使得－1x1x21，则Δx＝x2－x10.Δy＝f(x2)－f(x1)＝ax1x2＋1x1－x2x21－1x22－1，导学号62240356∵－1x1x21，∴x1x2＋10，x21－10，x22－10，∴x1x2＋1x1－x2x21－1x22－10，∴当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时函数f(x)在(－1,1)上是减函数，当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时f(x)在(－1,1)上是增函数．综上所述，当a0时，f(x)在(－1,1)上为减函数，当a0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．【课时小结】增函数:x增大时,y也增大,图象左低右高.减函数:x增大时,y减小,图象左高右低.在区间D内,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),函数在区间D内单增;当x1x2时,都有f(x1)f(x2),函数在区间D内单减.1.函数的单调性单调性:【课时小结】2.函数单调性的证明①在区间D内任取x1x2;②计算f(x1)-f(x2);③判断f(x1)-f(x2)的值的正负;④由③确定f(x1)与f(x2)的大小;⑤与x1x2对照,如果自变量与函数值的大小一致,则是增函数,否则是减函数.1.画出下列函数的图象,并根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.(1)y=x2-5x+5;(2)y=9-x2.解:(1)xyo1234-1-1123函数是二次函数,其图象是开口向上的抛物线,顶点).45,25(-两对称点(1,1),45-(4,1).函数在上是减函数,]25,(-在上是增函数.),25[+习题1.3A组1.画出下列函数的图象,并根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.(1)y=x2-5x+5;(2)y=9-x2.解:(2)函数也是二次函数,其图象是开口向下的抛物线,顶点两对称点(-3,0),(3,0).函数在(-∞,0]上是增函数,在[0,+∞)上是减函数.(0,9).xyo231-1123-2-3456789···习题1.3A组2.证明:(1)函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数;(2)函数f(x)=1-在(-∞,0)上是增函数.x1证明:(1)任取x1x20,f(x1)-f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2),∵x1x20,∴x1+x20,x1-x20,则(x1+x2)(x1-x2)0,得f(x1)f(x2),∴函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数.2.证明:(1)函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数;(2)函数f(x)=1-在(-∞,0)上是增函数.x1证明:(2)任取x1x20,f(x1)-f(x2)=∵x1x20,∴x1x20,x1-x20,得f(x1)f(x2),)11()11(21xx---,2121xxxx-=则,02121-xxxx∴函数在(-∞,0)上是增函数.xxf11)(-=单调性与最大(小)值1.3.1第二课时函数的最大(小)值返回目录1.什么是函数的最大值和最小值?2.怎样求函数的最大值和最小值?问题2.画出函数f(x)=x2的图象,观察图象,是否存在一个自变量x0,对定义域内任意x,使f(x)≥f(x0)或f(x)≤f(x0)?若存在,x0是多少?f(x0)是多少?xyoy=x2图象在x轴的上方,向上无限延伸,最低点是原点.不存在一个x0,使定义域内这时f(0)=0是最小值.存在一个x0=0,使定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0).的任意x,都有f(x)≥f(0)=0.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)≤M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)≥M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.例题(补充).如图是函数y=f(x)的图象,其定义域为[-p,p],x0为何值时,有f(x)≥f(x0),或f(x)≤f(x0)?函数的最大值是多少?最小值是多少?xyo-pp2p2p--11解:当时,20p-=xf(x)≥f(x0),这时函数取得最小值.1)2()(0-=-=pfxf当时,20p=xf(x)≤f(x0),这时函数取得最大值.1)2()(0==pfxf(1)(2)例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25m到30m处)时爆裂.如果在距地面高度18m的地方点火,并且烟花冲出的速度是14.7m/s.(1)写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.(2)烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?解:(1)设烟花冲出ts时距地面的高度为hm,由上抛物体的运动原理知0221)(hgtvtth+-=.189.47.142+-=tt例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25m到30m处)时爆裂.如果在距地面高度18m的地方点火,并且烟花冲出的速度是14.7m/s.(1)写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.(2)烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?解:(2)由(1)得.189.47.14)(2+-=ttth这是一个二次函数,其图象开口向下,顶点为最高点.当abt2-=h(t)取得最大值为)9.4(27.14--==1.5时,abacth44)(2-=)9.4(47.1418)9.4(42---=≈29(m).答:烟花冲出1.5秒时爆裂最佳,此时距地面约29米.例4.求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.12-=xyxyO1234560.51.52.512分析:由函数图象可知,12-=xy是[2,6]上的减函数,当x=2最小时,函数值最大,当x=6最大时,函数值最小.例4.求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.12-=xyxyO1234560.51.52.512解:1212)()(2121---=-xxxfxf在区间[2,6]上任取2≤x1x2≤6,,)1)(1()(22112---=xxxx∵2≤x1x2≤6,∴x1-10,x2-10,x2-x10,则,0)1)(1()(22112---xxxxf(x1)f(x2),∴函数是[2,6]上的减函数,12-=xy则x=2时取得最大值f(2)=2;x=6时取得最小值f(6)=0.4.求最值时,要注意闭区间的端点值.练习:(课本32页)第5题.习题1.3A组第5题.练习:(课本32页)5.设f(x)是定义在区间[-6,11]上