正弦定理知识点总结与复习

在△ABC，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解三角形[解题过程]在△ABC中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝23＋14＝6＋24根据正弦定理：a＝csinAsinC＝2sin60°sin75°＝2×3223＋14＝6(3－1)＝32－6，b＝csinBsinC＝2sin45°sin75°＝2×2223＋14＝2(3－1)．[题后感悟]已知两角和一边(如A，B，c)，求其他角与边的步骤是：(1)C＝180°－(A＋B)；(2)用正弦定理，a＝csinAsinC；(3)用正弦定理，b＝csinBsinC.,思路点拨：已知两边及一边对角，先判断三角形解的情况，∵ab，∴AB，B为锐角，故有一解，先由正弦定理求角B，然后由内角和定理求C，然后再由正弦定理求边c.1．(1)已知A＝45°，B＝30°，c＝10.求b.(2)在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝22，求c.解析：(1)∵A＋B＋C＝180，∴C＝105°.又∵sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°·cos60°＋cos45°·sin60°＝2＋64，∴b＝csinBsinC＝10×sin30°sin105°＝10×122＋64＝5(6－2)．(2)∵A＋B＋C＝180°，∴C＝30°.又∵bsinB＝csinC，∴c＝bsinCsinB＝22×sin30°sin45°＝22×1222＝2.在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，解三角形．2．本例中条件“A＝60°”改为“B＝45°”，其它条件不变，解三角形[解题过程]由asinA＝bsinB，得sinB＝b·sinAa＝42×sin60°43＝22.∵ab，∴AB，而A＝60°，∴B为锐角，∴B＝45°.C＝180°－(A＋B)＝75°由asinA＝csinC得c＝asinCsinA＝43·sin75°sin60°＝2(6＋2)[题后感悟]已知两边和其中一边对角(如a，b，A)不能唯一确定三角形形状，解这类问题将出现无解、一解、两解三种情况，要注意判别，其方法是：由三角形中大边对大角可知，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解，若ab，则AB，此时由正弦定理得sinB＝bsinAa，①当sinB1，无解；②当sinB＝1，一解；③当sinB1，两解．,解析：由正弦定理asinA＝bsinB得sinA＝asinBb＝43sin45°42＝32∵ab，∴AB，∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°由正弦定理csinC＝bsinB得在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．思路点拨：观察已知条件，是一个边角等式，可以应用正弦定理把边化为角，再利用三角公式求解c＝bsinCsinB＝42·sin75°sin45°＝2(6＋2)．当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°由正弦定理csinC＝bsinB得c＝bsinCsinB＝42·sin15°sin45°＝2(6－2)∴A＝60°，C＝75°，c＝2(6＋2)或A＝120°，C＝15°，c＝2(6－2)[规范作答]由已知得a2sinBcosB＝b2sinAcosA.2分由正弦定理的推广得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)，∴4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA，6分即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.8分又A、B为三角形的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.10分∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.12分[题后感悟](1)确定三角形的形状主要有两条途径：①化边为角；②化角为边．(2)确定三角形形状的思想方法：先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系，再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状．在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则会有漏掉一种解的可能.3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acosC，试判断△ABC的形状．解析：∵b＝acosC，由正弦定理得：sinB＝sinA·sinC.∵B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinA·cosC.即sinAcosC＋cosAsinC＝sinA·cosC，∴cosAsinC＝0，∵A、C∈(0，π)，∴cosA＝0，∴A＝π2，∴△ABC为直角三角形．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：(1)a＝1，b＝3，A＝30°；(2)a＝3，b＝1，A＝60°；(3)a＝3，b＝1，B＝120°.[解题过程]在△ABC中，(1)根据正弦定理，sinB＝bsinAa＝3sin30°1＝32.∵ba，∴BA＝30°，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c＝bsinB＝3sin60°＝2；当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，c＝bsinCsinB＝3sin30°sin120°＝1.(2)根据正弦定理，sinB＝bsinAa＝sin60°3＝12.∵ba，∴BA＝60°，∴B＝30°.∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋30°)＝90°.∴c＝bsinB＝112＝2.(3)根据正弦定理，sinA＝asinBb＝3sin120°1＝321.因为在△ABC中，A180°－B＝60°.所以，A不存在，即无解．[题后感悟](1)正弦函数y＝sinx的值域是[－1,1]，据此可判断是否有解．(2)在△ABC中，大边对大角，小边对小角，据此可判断解的个数.4．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a＝23，b＝6，A＝30°.(2)a＝2，b＝2，A＝45°.(3)a＝5，b＝3，B＝120°.(4)a＝3，b＝4，A＝60°.解析：(1)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°，又∵bsinA＝6sin30°＝3，absinA，∴本题有两解．由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.(2)由asinA＝bsinB得sinB＝bsinAa＝2sin45°2＝2×222＝12，∵ab，∴AB，∴B必为锐角．∴B＝30°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°，∴c＝asinCsinA＝2sin105°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1，∴B＝30°，C＝105°，c＝3＋1.(3)∵a＝5，b＝3，ab.∴AB又∵B＝120°∴不存在角A，故此题无解．(4)∵ab，bsinA＝4·sin60°＝23又∵absinA∴无解．1．正弦定理的常见变形设R为三角形外接圆半径，公式可扩展为asinA＝bsinB＝csinC＝2R，即当一内角为90°时，所对边为外接圆的直径，灵活运用正弦定理，还需知道它的几个变形：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(4)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.◎在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，求B、C及b.【错解】根据正弦定理得：sinC＝csinAa＝10×1252＝22∴C＝45°∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°∴b＝a·sinBsinA＝52·sin105°sin30°＝5(3＋1)【错因】上述解法由sinC＝22，求角C时漏掉了一个解，∵在△ABC中，c＝10a＝52，∴CA，∴C＝45°或135°.【正解】根据正弦定理得：sinC＝csinAa＝10sin30°52＝22∵ac，∴AC，∴C＝45°或135°.(1)当C＝45°时，B＝180°－(30°＋45°)＝105°∴b＝asinBsinA＝52·sin105°sin30°＝5(3＋1)(2)当C＝135°时，B＝180°－(135°＋30°)＝15°∴b＝asinBsinA＝52·sin15°sin30°＝5(3－1)1.1.1正弦定理同步练习一、选择题1．在△ABC中，已知0075,60,8CBa，则b等于（）Ａ．24Ｂ．34Ｃ．64Ｄ．3322．在△ABC中，已知045,2,Bcmbxcma，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()Ａ.222＜x＜Ｂ．222＜xＣ．2x＞Ｄ．2x＜3．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m,则m的取值范围是（）Ａ．（０，＋∞）Ｂ．（21，＋∞）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（２，＋∞）二、填空题４．在△ABC中，若sinA＝２cosBsinC,则△ABC的形状是_________５．在△ABC中，已知31cos,23Ca，Ｓ△ABC＝34，则b_________三、解答题６．已知方程0cos)cos(2BaxAbx的两根之积等于两根之和，且ba,为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状7．在△ABC中，3,2CAbca，求sinB的值。