向量应用举例

§7向量应用举例平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.思考1用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化.探究点1点到直线的距离公式仓库铁路仓库l.M点到直线的距离l一定是垂线段哟！lM.oxy:Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离已知点M(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0.则点M到直线l的距离d为:0022AxByCdAB点到直线的距离公式思考2如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？.oxyM(x0,y0)P(x,y)n00M,P,:ABC0,B,Axyxylxyv是直线外一定点，是直线上任意一点，由直线可以取它的方向向量=.一般地，称与直线的方向向量垂直的向量为该直线证明：的法向量.ll:Ax+By+C=002222000,.,:0:nABnnABABMxylAxByCPMn于是，点到直线的距离等于向量在方向上射影的长度.oxyM(x0,y0)P(x,y)n000222200002222,,ABdPMnxxyyABABAxxByyAxByAxByABAB0022,,.又因为为上任意一点，所以故PxylcAxByAxBycdAB1.在使用该公式前，需将直线方程化为一般式．2.A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0且B=0时一般不用此公式计算距离．特别提醒:当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.QQxyox=x1M(x0,y0)-01MQyy-01MQxxyoy=y1(x0,y0)xM(x0,y1)(x1,y0)例求点到直线：的距离.112210P,lxy00221221121121521125　由点到直线的距离公式，得所以点到线的：直离为解距x,y,A,B,C.d,P,l.技巧方法:认清公式的形式，找准每一个变量代表的数值，准确代入，精确计算.P0,3,3x+4y=0.P-2,0,4x+3y-1=0.P0,0,4x+7y=37.P-1,-2,x+y=0.P2,3,x-1=0.P1,-1,y+2=0.①②③④⑤⑥求下列各点到相应直线的距离9537656532211课堂练习125探究点2几何中的应用举例例2如图,已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点.思路分析解决此类问题一般是将相关的线段用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则，结合题目中的已知条件进行运算，得出结果，再翻译成几何语言.CDEFBAH两式相减，得，即所以，又所以，，三点共线，在上.CHCBCACHAB,CHABCHAB,CFAB,CHFHCF00　:设交于点，以下只需证明点在上.因为所以又　，证　明0000AD,BEHHCFADBC,BECA,AHCB,BHCA.CHCACBCHCBCACB,CHCBCACHCACBCACDEFBAH简述：1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.3.把运算结果“翻译”成几何元素.思考3根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：形到向量向量的运算向量和数到形思考4物理中力的合成与分解中体现了向量的哪种运算?提示：体现了向量的加减法的运算.思考5在物体的运动过程中,是否力越大,做的功就越多?提示：不一定.力所做的功不仅取决于力的大小,还和力与物体运动方向的夹角有关系.探究点3物理中的应用举例例3一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.BADC60o60o西南东北分析:要求飞机从B地到C地的位移，需要解决两个问题：⑴利用解三角形的知识求线段BC的长度.⑵求BC与基线的夹角.60km60km601000km1309023sin60oooooo设在东西基线和南北基线的交点处.依题意，的方向是北偏西，；的方向是南偏西，.所以　过点作东西基线的垂线，交于，则为正三角形.所以解：，.所以.=2000AABABACACBAC.BACDABDBDCDCBDBCDBDAABCBCACΔ10003km3km23km30o=,=1000.答：飞机从地到地的位移大小是1000，方向是南偏西BCBC.向量解决航空、航海问题方法：1.按照题意正确作图.2.分析图形的边角关系.3.利用平面几何的知识求出答案.30°分析：本题是向量在物理学中“力学问题”上应用的例子，可以清楚地看出向量的直接作用，根据向量数量积的几何意义，可知对物体所做的功即是表示力的向量和表示位移的向量的数量积.例4已知力与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50N，一个质量为8kg的木块受力的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20m.问力和摩擦力所做的功分别为多少？（g=10m/s2）FFFfF1F2FfG1802500211Ncos1801120122J3JJo所以，摩擦力的大小为因此答　　和所做的功分别是500和-22ffGF...fsfs..Ff.11350205003J215025N2oo设木块的位移为，则cos30将力分解，它在铅垂线方向上的分力的大小为sin0解：3sFsFs.FFFF,向量解决物理问题方法：1.将物理中的矢量用向量表示.2.找出向量与向量的夹角.3.利用向量的数量积计算功.1.证明直径所对的圆周角是直角.ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点，不与AB重合.求证∠ACB=90°.ab要证∠ACB=90°，只需证向量，即.ACCB0ACCB思路分析证明：设则，由此可得：,,AOOBaOCb,ACabCBabACCBabab22220,aabbabrr即，∠ACB=90°.0ACCB所以,ACCB12500m10kmh2kmh2一条河的两岸平行，河宽，一艘船从出发航行到河的正对岸处.航行的速度，水流的速度，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？.dABv/v/vv2v1AB1212210km/h,2km/h.如图，已知，，，求vvvvvvvt思路分析0,2由已知条件得解:：vv2212||||||96(km/h),vvv所以dtv0.5603.1(min).||96本题方法：1.计算速度的合速度.2.计算时间必须使速度的方向和位移的方向一致.答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1min.注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式.1.点到直线的距离公式：，0022AxByCdAB2.掌握用向量方法解决平面几何问题的三个步骤：简述：形到向量向量的运算向量和数到形