2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用[基础训练]1．下列结论中正确的个数是()①若a0，则a2＋1a的最小值是2a；②函数f(x)＝sin2x3＋cos2x的最大值是2；③函数f(x)＝x＋1x的值域是[2，＋∞)；④对任意的实数a，b均有a2＋b2≥－2ab，其中等号成立的条件是a＝－b.A．0B．1C．2D．3答案：B解析：①错误：设f(a)＝a2＋1a，其中a是自变量，2a也是变化的，不能说2a是f(a)的最小值；②错误：f(x)＝sin2x3＋cos2x≤sin2x＋3＋cos2x2＝2，当且仅当sin2x＝3＋cos2x时等号成立，此方程无解，∴等号取不到，2不是f(x)的最大值；③错误：当x0时，x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立；当x0时，－x0，x＋1x＝－－x＋1－x≤－2－x·1－x＝－2，当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时等号成立．∴f(x)＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)；④正确：利用作差法进行判断．∵a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2≥0，∴a2＋b2≥－2ab，其中等号成立的条件是a＋b＝0，即a＝－b.2．[2019河北张家口模拟]已知a＋2b＝2，且a1，b0，则2a－1＋1b的最小值为()A．4B．5C．6D．8答案：D解析：因为a1，b0，且a＋2b＝2，所以a－10，(a－1)＋2b＝1，所以2a－1＋1b＝2a－1＋1b·[(a－1)＋2b]＝4＋4ba－1＋a－1b≥4＋24ba－1·a－1b＝8，当且仅当4ba－1＝a－1b时等号成立，所以2a－1＋1b的最小值是8，故选D.3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]答案：D解析：∵2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2x＋y≤12，∴2x＋y≤14，得x＋y≤－2.故选D.4．已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为()A.22B．22C.2D．2答案：D解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y≥22xy，∴4xy－(x＋2y)≤4xy－22xy，∴4≤4xy－22xy，即(2xy－2)(2xy＋1)≥0，∴2xy≥2，∴xy≥2.5．用一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为()A.L28B.L24C.L22D．L2答案：A解析：设菜园平行于墙的一边长为x，其邻边长为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy，因为x＋2y≥22xy，所以xy≤x＋2y28＝L28，当且仅当x＝2y＝L2，即x＝L2，y＝L4时，Smax＝L28，故选A.6．[2019云南玉溪一中月考]已知f(x)＝x2－2x＋1x，则f(x)在12，3上的最小值为()A.12B.43C．－1D．0答案：D解析：f(x)＝x2－2x＋1x＝x＋1x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立．又1∈12，3，所以f(x)在12，3上的最小值是0.7．[2019天津和平区期末]已知a0，则a－14a－1a的最小值为________．答案：－1解析：a－14a－1a＝4a2－a－4a＋1a＝4a－5＋1a.∵a0，∴4a－5＋1a≥24a·1a－5＝－1，当且仅当4a＝1a，即a＝12时等号成立，∴a－14a－1a的最小值为－1.8．[2019江苏苏北四市联考]若实数x，y满足xy＋3x＝30x12，则3x＋1y－3的最小值为________．答案：8解析：∵实数x，y满足xy＋3x＝30x12，∴x＝3y＋3∈0，12，解得y3，则3x＋1y－3＝y＋3＋1y－3＝y－3＋1y－3＋6≥2y－3·1y－3＋6＝8，当且仅当y＝4x＝37时等号成立．9．[2019天津第一中学月考]对任意的θ∈0，π2，不等式1sin2θ＋4cos2θ≥|2x－1|恒成立，则实数x的取值范围是________．答案：[－4,5]解析：∵当θ∈0，π2时，1sin2θ＋4cos2θ＝1sin2θ＋4cos2θ(sin2θ＋cos2θ)＝5＋cos2θsin2θ＋4sin2θcos2θ≥5＋2cos2θsin2θ·4sin2θcos2θ＝9，当且仅当sinθ＝33，cosθ＝63时等号成立，又1sin2θ＋4cos2θ≥|2x－1|恒成立，∴|2x－1|≤9，∴－4≤x≤5，即x∈[－4,5]．10．[2019安徽黄山一模]已知函数f(x)＝k－|x－4|，x∈R，且f(x＋4)≥0的解集为[－1,1]．(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1ka＋12kb＋13kc＝1，求证：19a＋29b＋39c≥1.(1)解：因为f(x)＝k－|x－4|，所以f(x＋4)≥0等价于|x|≤k.由|x|≤k有解得k≥0，且其解集为{x|－k≤x≤k}．又f(x＋4)≥0的解集为[－1,1]，故k＝1.(2)证明：由(1)知1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c是正实数，由均值不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋12b＋13c＝3＋a2b＋2ba＋a3c＋3ca＋2b3c＋3c2b≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝2b＝3c时等号成立，所以19a＋29b＋39c≥1.[强化训练]1.3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.92C．3D.322答案：B解析：解法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本(均值)不等式可知，3－aa＋6≤3－a＋a＋62＝92，当且仅当a＝－32时等号成立．解法二：3－aa＋6＝－a＋322＋814≤92，当且仅当a＝－32时等号成立．2．[2018内蒙古包头二模]已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.94D.256答案：A解析：解法一(常数代换法)：设数列{an}的公比为q(q0)，由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，所以q＝2.因为aman＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝165＋nm＋4mn≥16×(5＋4)＝32，当且仅当nm＝4mn时，等号成立，所以1m＋4n的最小值为32，故选A.解法二(拼凑法)：由解法一可得m＋n＝6，所以n＝6－m，又m，n≥1，所以1≤m≤5.故1m＋4n＝1m＋46－m＝6－m＋4mm6－m＝3m＋2m6－m＝3m6－mm＋2＝－3[m＋2－2][m＋2－8]m＋2＝－3m＋2＋16m＋2－10.由基本不等式，得(m＋2)＋16m＋2－10≥2m＋2×16m＋2－10＝－2当且仅当m＋2＝16m＋2，即m＝2时等号成立，易知(m＋2)＋16m＋2－100，所以1m＋4n≥－3－2＝32.故选A.3．设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝fa＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜pB．p＝r＜qC．q＝r＞pD．p＝r＞q答案：B解析：因为b＞a＞0，故a＋b2＞ab.又f(x)＝lnx(x＞0)为增函数，所以fa＋b2＞f(ab)，即q＞p.又r＝12(f(a)＋f(b))＝12(lna＋lnb)＝lnab＝p.4．[2019西安模拟]设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)(a0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则2a＋1b的最小值是()A．4B.92C．8D．9答案：D解析：因为AB→＝OB→－OA→＝(a－1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共线，则有AB→∥AC→，所以(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1，又a0，b0，所以2a＋1b＝2a＋1b·(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba×2ab＝9，当且仅当2ba＝2ab，2a＋b＝1，即a＝b＝13时等号成立．5．[2018河南信阳二模]如图，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为()A．33B．32C．53D．52答案：A解析：如图，设半圆圆心为O，连接OD，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F.设∠AOD＝θ，θ∈0，π2，OE＝2cosθ，DE＝2sinθ.可得CD＝2OE＝4cosθ，∴梯形ABCD的面积为S＝12(4＋4cosθ)·2sinθ＝4sinθ(1＋cosθ)，S′＝4(cosθ＋cos2θ－sin2θ)＝4(2cos2θ＋cosθ－1)＝4(2cosθ－1)(cosθ＋1)．∵θ∈0，π2，∴当θ∈0，π3时，S′0；当θ∈π3，π2时，S′0.∴当θ＝π3，S取得最大值，S＝33.6．[2019广东广州质检]设a＝x2－xy＋y2，b＝pxy，c＝x＋y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2]C.12，72D.12，3答案：A解析：对任意的正实数x，y，a＝x2－xy＋y2≥2xy－xy＝xy，当且仅当x＝y时等号成立，b＝pxy，c＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立．又三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy＋2xypxy，pxy＋xy2xy，pxy＋2xyxy，解得1p3，故实数p的取值范围是(1,3)．7．[2019广东揭阳期末]当0xπ2时，函数f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x的最小值为()A．2B．23C．4D．43答案：C解析：∵0xπ2，∴tanx0，∴f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x＝2cos2x＋8sin2x2sinxcosx＝1＋4tan2xtanx＝1tanx＋4tanx≥21tanx·4tanx＝4，当且仅当tanx＝12时等号成立，∴函数f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x的最小值为4，故选C.8．[2019四川成都月考]实数x，y满足2cos2(x＋y－1)＝x＋12＋y－12－2xyx－y＋1，则xy的最小值为()A．2B．1C.12D.14答案：D解析：因为2cos2(x＋y－1)∈[0,2]，x＋12＋y－12－2xyx－y＋1＝x2＋y2＋1－2xy＋2x－2y＋1x－y＋1＝x－y＋12＋1x－y＋1＝x－y＋1＋1x－y＋1∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，又2cos2(x＋y－1)＝x＋12＋y－12－2xyx－y＋1，所以2cos2(x＋y－1)＝2，所以x－y＋1＝1，x＋y－1＝kπ(k∈Z)，所以x＝y＝kπ＋12(k∈Z)，所以xy＝kπ＋122≥14，当且仅当k＝0时等号成立，故选D.9．[2019江苏如皋质量调研]已知x，y，z均为正数，2x＋1y＝2，x＋2y＋2z＝xyz，则xyz的最小值为________．答案：16解析：∵2x＋1y＝2y＋xxy＝2，∴2y＋x＝2xy，∴x＋2y＋2z＝2xy＋2z＝xyz.∵x，y，z均为正数，z＝2xyxy－20，xy－20，∴xyz＝2xy2xy－2＝2(xy－2)＋8xy－2＋8≥22xy－2×8xy－2＋8＝16，当