理论力学-摩擦

考虑摩擦时力系的平衡在外力作用下，两个相互接触的物体有相对滑动趋势时，彼此总存在阻碍滑动发生的机械作用。称为滑动摩擦力。滑动摩擦力分为两种：静滑动摩擦力和动滑动摩擦力1、静滑动摩擦力当T很小时，重物不会滑动，表明摩擦力可以和T平衡，当T逐渐增加，至某临界值TK，物体由静止进入运动，考虑和F的平衡关系，有KMAXTF可见F的大小有一个确定的范围，在此范围内可以保持物体的平衡MAXFF0PTFN实验证明：静滑动摩擦力的最大值FMAX与接触面间的正压力N成正比NfFMAX——库仑静滑动摩擦定律f——静滑动摩擦因数。静滑动摩擦因数与材料、接触面的粗糙度、温度等因素有关；在一般情况下，与接触面的面积无关。可以认为是常数。静滑动摩擦力F的方向，总是与滑动的趋势方向相反。即F总是阻止滑动发生。使物体保持平衡状态时的摩擦力F，MAXFF2、动滑动摩擦力如果两个相互接触的物体发生了相对滑动（有相对速度），在接面上产生的阻碍滑动的力称为动滑动摩擦力。与静滑动摩擦力类似，动滑动摩擦力与物体间的正压力成正比NfF——动滑动摩擦库仑定律F——动滑动摩擦力，与滑动方向相反。N——物体间接触正压力。f´——动滑动摩擦因数一般地，ff当滑动速度不大时，f´等于常数。摩擦角与“自锁”PyPxNF作用于物体上的力P分解为两个分量sincosPPPPxy——与约束力N平衡——与摩擦力F平衡当角逐渐增加时，Px增加,F增加；Py减小，N随之减小，直至临界状态maxFPx时物体保持平衡。这时，FMAX与N构成全反力R与P保持平衡。显然fNNfNFmaxtan——称为摩擦角RP由于ftan是常数，可以改变，于是有下列状态：（1）时即MAXxFP临界平衡PRPyPxNFMAX（2）时即MAXxFP自锁PRPyPxNFMAX这时，由于实际摩擦力F总小于最大摩擦力FMAX，物体永远保持静止平衡——自锁。PPyPxNFR（3）时即MAXxFF不能平衡这时即使P值很小，也不能保证物体平衡。PRPyPxNFMAX考虑滑动摩擦的平衡问题斜面上放一重物，重量为P。已知斜面的倾斜角为，重物与斜面之间的摩擦系数为f，摩擦角为。当时，试求使重物在斜面上保持静止时水平力Q的大小。PQ解：（1）当Q足够小时，因，重物在P作用下有向下滑动的趋势，摩擦力方向与X方向相同。NPQX平衡方程0sincosPQF0XF0YF0cossinPQN物理条件NfF于是有cossincossinPQfQP解出sincoscossinffPQF（2）当Q足够大时，使重物出现向上滑动的趋势，摩擦力方向与X方向相反。NPQXF0sincosPQF0XF0YF0cossinPQN物理条件NfF平衡方程解出sincoscossinffPQ于是有cossincossinPQfQP综合得重物保持平衡的条件sincoscossinsincoscossinffPQffP即cossincossinfPQfP考虑到ftan)tan()tan(PQP可以看出，Q在一定取值范围内都可使重物保持平衡。长l的梯子AB一端靠垂直墙壁，一端搁在水平地板上。设梯子与墙壁的接触完全光滑，梯子与地板之间存在摩擦，静摩擦系数f，梯子重量不计。有一重量为P的人沿梯子向上爬，如要保证梯子不滑倒，求梯子与墙壁之间的夹角。alABP解：受力如图，设P至A端的距离为aNBalABP平衡方程0XF0FNB0YF0PNA0Am0cossinlNaPB物理条件ANfFtanPlaNBPfPlatanflatan当a=l时最危险tantanf梯子不滑的条件NAFMAXF宽a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重G，重心C在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是fs，在柜的侧面施加水平向右的力F，求能使柜不翻倒而滑动所需推力F的值。hCabFGyABCxFGFBFAFNBFNA1.假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。解:取矩形柜为研究对象,受力分析如图。联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力s1minGfFFBBAAFfFFfFNsNs,补充方程列平衡方程代入（a），（a）-（b）0BAFFF,0xF)(a0NNGFFBA,0yF)(b2.假设矩形柜不滑动但将绕B翻倒。柜不绕B翻倒条件：FNA≥0bGaFF2min2当h=b时,使柜翻倒的最小推力为,0BM02NaFhFaGA列平衡方程ABCxFGFBFAFNBFNA解得hGaF2≤hCabFG柜体保持滑动而不翻到时,应满足hCabFG1min2minFFFsGfFbGa2即在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧装置—楔联结。坑道支柱中的联结结构装置如图所示。它包括顶梁I，楔块II，用于调节高度的螺旋III及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力FN1。已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为fs（或摩擦角φf）。求楔块不致滑出所需顶角的大小。θⅠⅡⅢⅣyθOxF1F2FN1FN21.取楔块为研究对象，受力分析如图。解：,0xF0sincos2N21FFF,0yF0cossin2N21NFFF列平衡方程11NsFfF22NsFfF补充方程解方程可得0sin)cos(2N2N1NsFFFf0cossin2N2Ns1NFFfFcossins2N1NfFFss2N1NcossinffFF由此得θⅠⅡⅢⅣ将fs=tanφf代入上式得)tan(1tantantantancossintancostansintanfffffff2即cossincossinsssfff所以θⅠⅡⅢⅣθOxF1F2FN1FN2所以楔块不致滑出的条件为f2≤重为G=100N的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力FB，其大小为FB=50N。A为光滑铰链，轮与杆间的摩擦因数为fs1=0.4。轮半径为r，杆长为l，当α=60°时，AC=CB=0.5l，如图所示。如要维持系统平衡，问：（1）若D处静摩擦因数fs2=0.3，求此时作用于轮心O处水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此时F的最小值又为多少？ABCDOrαGFFB解：此题在C，D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。先假设C处的摩擦达到最大值，当力F为最小时，轮有沿水平向右滚动的趋势。ABCDOrαGFFBABCFAxFAyFCFNCFB受力分析如图，其中D处摩擦力未达到最大值，假设其方向向左。DOCFNDFDGFCFCFNα1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。N40,N100NCCFF解得(a)02,0NlFlFMBCAF列平衡方程(b)N1smaxCCCFfFF补充方程(临界状态，取等号）ABCFAxFAyFCFNCFB2.以轮为研究对象，列平衡方程。(e)0,0(d)060sin60cos,0(c)060cos60sin,0NNNrFrFMFFGFFFFFFFDCODCCyDCCxF由式(e)可得CDFF代入式(d)得FND=184.6NN39.55N2smaxDDFfF当fs2=0.3时，D处最大摩擦力为代入式(c)得最小水平推力F=26.6NN40,N100NNCCDCCFFFFF将maxN40DDFF由于，D处无滑动,所以维持系统平衡的最小水平推力为F=26.6N。DOCFNDFDGFCFCFNαDDDFfFFN2smax受力图不变，补充方程(b)改为说明前面求得不合理，D处应先达到临界状态。maxDDFF3.当fs2=0.15时,N7.27Ns2maxDDFfFABCFAxFAyFCFNCFB(a)02,0NlFlFMBCAF列平衡方程NFNC100解方程得DDCFfFFN2sN86.2560sin160cos2sN2sfGFfFFCCDDOCFNDFDGFCFCFNα(e)0,0(d)060sin60cos,0(c)060cos60sin,0NNNrFrFMFFGFFFFFFFDCODCCyDCCxFDDDFfFFN2smax补充方程(思考：此时，NCsCFfF1是否成立？)N81.47F当fs2=0.15时，维持系统平衡的最小水平推力为，所以C处无滑动，因此maxCCFF由于N40N1smaxCCFfF此时C处最大摩擦力为最小水平推力为N81.4760cos160sinNDCFFF图示物块A重QA=20N，物块B重QB=9N，直杆AC和CB的重量忽略不计，用光滑铰链相互连接并处于同一水平面内。已知A、B与接触面的摩擦系数同为f=0.25，在图示位置平衡。求此时铅垂主动力P的取值。AB3m6m9m3mCPQAQB解：受力分析AQAFANACNABFBNBCNBQBNCANCBPCAC、BC杆是二力杆，分析B受力，BC杆对B的受力如图所示，显示B有两种滑动趋势；AC杆对A的受力如图所示，显示A仅有一种滑动趋势。对各分离体列平衡方程1、对销钉C00YXFF0sinsin0coscosPNNNNCBCACBCANCANCBPC529366cos,519363sin,1019813cos,1039819sin代入上式，得PNCA5102PNCB552、对物块B00YXFF0sin0cosBBCBBCBQNFNNPNB5259PFBBFBNBCNBQB物理条件BBNfF5241595241PPP即9030P解得B块平衡条件3、对A块00YXFF0sin0cosAACAAACQNNFNAQAFANACNA52PFA5620PNA解得物理条件AANfF)5620(4152PP即50P解得A块平衡条件综合得5030PAB,CD两匀质杆,各自重量为P,长度为l.两杆接触点D处的静滑动摩擦因数为43f施加在CD杆上的主动力偶M使两杆在图示位置保持平衡.试求,M的值.30ºDABCM30ºDABCM解:1.设CD杆有顺时针转动趋势,受力分析AB杆受力分析ABPNF0BM030cos2lNlP3PNDCMN'F'PCD杆受力分析DCMN'F'PCD杆受力分析0CM030sin30cos30cos2lFlNlPMFFNN4343PPNfF3PN;解得)233(4PlM2.设CD杆有逆时针转动趋势,受力分析DCMN'F'PCD杆受力分析FFNN4343PPNfF3PN030sin30cos30cos2lFlNlPM0CM解得)253(4PlM综上,使系统保持平衡状态的M取值为)253(4)233(4PlMPl30ºDABCM滚动摩擦与滚动磨阻在工程中，以滚动运动代替滑动运动，阻力会小很多。以圆盘纯滚动分析为例理想情况，A为点接触。T与F不能平衡，不管力多小，圆盘都要滚动。滚动力矩rTmNFTPrATPrA实际情况，A点为线接触分布力系简化为B点的合力N时，圆盘不能滚动。NFddNrT