二次函数及根的分布

第1页共9页二次函数教学目标：1．掌握二次函数的图像及性质2．能够求出二次函数在某个区间上的最值3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布教学重难点：重点：一元二次函数、二次方程及二次不等式之间的灵活转化难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设2()(0)fxaxbxca，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得对称轴方程,当时，抛物线开口向上若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当时))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf当时第2页共9页)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxffxfmbamnfnbamn()()()()()()()min，，如图如图212212910典型例题一、求二次函数在闭区间上的值域（一）正向型已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动．1．轴定区间定例1．已知函数2()2tan1,[1,3],fxxxx，当6时，求函数f(x)的最大值与最小值．解析：6时，234()()33fxx所以33x时，min4();13fxx时，max23()3fx．2．轴定区间动例2．求函数243yxx在区间,1tt上的最小值．解析：对称轴2x（1）当2t即2t时，2min43yfttt；（2）当21tt即12t时，min21yf；（3）当21t即1t时，2min12yfttt3．轴动区间定例3．求函数)(axxy在]1,1[x上的最大值．解析：函数4)2(22aaxy图象的对称轴方程为2ax，应分121a，12a，12a即22a，2a和2a这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2a；由图可知max()(1)fxf第3页共9页（2）a22；由图可知max()()2afxf（3）2a时；由图可知max()(1)fxf2,)1(22,)2(2,)1(afaafafy最大；即2,122,42,)1(2aaaaaay最大4．轴动区间动例4．已知24()(0),yaxaa，求22(3)uxy的最小值．解析：将24()yaxa代入u中，得①，即时，②，即时，所以（二）逆向型已知二次函数在某区间上的最值，求函数在区间中的参数值．例5．已知函数2()21fxaxax在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值．解析：2()(1)1,[3,2]fxaxax（1）若0,()1,afx，不合题意．（2）若0,a则max()(2)81fxfa由814a，得38a；（3）若0a时，则max()(1)1fxfa由14a，得3a．第4页共9页综上知38a或3a．例6．已知函数2()2xfxx在区间[,]mn上的值域是[3,3]mn，求m，n的值．解析：方法一：讨论对称轴中1与,,2mnmn的位置关系．①若，则maxmin()()3()()3fxfnnfxfmm解得②若12mnn，则maxmin()(1)3()()3fxfnfxfmm，无解③若12mnm，则maxmin()(1)3()()3fxfnfxfnm，无解④若，则maxmin()()3()()3fxfmnfxfnm，无解综上，4,0mn方法二：由211()(1)22fxx，知113,,26nn，则[,](,1]mn，f(x)在[,]mn上递增．所以maxmin()()3()()3fxfnnfxfmm解得4,0mn评注：方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了．例7．已知函数21sinsin42ayxax的最大值为2，求a的值．解析：令sintx，问题就转二次函数的区间最值问题．令sintx，[1,1]t，∴221()(2)24aytaa，对称轴为2at，①当112a，即22a时，2max1(2)24yaa，得2a或3a（舍去）．②当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递增，由max111242yaa，得103a．③当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递减，由max111242yaa，得2a（舍去）．第5页共9页综上可得：a的值为2a或103a．二、恒成立问题此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参数分离的方法．例14．已知函数2()3fxxax，（1）当xR时，()fxa恒成立，求实数a的取值范围；（2）当[2,2]x时，()fxa恒成立，求实数a的取值范围．解析：（1）当xR时，()fxa恒成立，即230xaxa在R上恒成立，因此0得：62a．（2）[2,2]x，()fxa恒成立，即[2,2]x，min()fxa．函数2()3fxxax的对称轴为：2ax，①22a即4a时，min()(2)72fxfaa得：73a故此时无解；②22a即4a时，min()(2)72fxfaa得：7a故74a；③222a即44a时，2min()()324aafxfa得：62a故42a；综上可知：72a．例15．不等式2(2)2(2)40axax对一切xR恒成立，求实数a的取值范围．解析：①a=2时，40，恒成立；②2a时，满足200a得：22a；综上可知：22a．例16．当(1,2)x，不等式240xmx，求实数m的范围．第6页共9页解析：方法一：令2()4fxxmx()fx开口向上故f（x）在[1,2]上的最大值为(1)f或(2)f，故(1)0(2)0ff得：5m．方法二：参数分离法(1,2)x时，240xmx等价于4()mxx（(1,2)x），45()4xx，（(1,2)x）,故5m．例16．对满足2p的所有实数p，求使不等式212xpxxp恒成立的x取值范围．解析：由题意知，不等2(1)210xpxx对[2,2]p恒成立，令2()(1)21fpxpxx，（看作是p的函数）由(2)0(2)0ff得：1x或3x．三、根的分布例8．(1)方程2240xax的两根均大于1，求实数a的范围．(2)方程2240xax的两根一者大于1，一者小于1求实数a的范围．(3)方程2240xax的两根一者在(0,1)内，一者在（6，8）内，求实数a的范围．解析：令2()24fxxax（1）由012(1)0af或12120(1)(1)0(1)(1)0xxxx得：522a；（2）由(1)0f或120(1)(1)0xx得：52a；第7页共9页（3）由(0)0(1)0(6)0(8)0ffff得：101734a．例9．关于x的方程9(4)340xxa有实根，求实数a的取值范围．解析：令3xt（0t），原方程有实根等价于方程2(4)40tat有正根．令2()(4)4fttat，则()ft恒过(0,4)点．方法一：0402a得：8a方法二：要使方程2(4)40tat有正根，则方程2(4)40tat的较大根大于0即可；故由20(4)(4)1602aa得：8a例10．关于x的方程2210axx至少有一个负根，求实数a的取值范围．解析：令2()21fxaxx，()fx恒过(0,1)点方法一：①0a时，210x102x成立．②0a时，010a得：01a；③0a时，恒成立；综上可知：1a．方法二：①0a时，210x102x成立．②0a时，要使方程2210axx至少有一个负根等价于方程2210axx的较小根小于0即可．故第8页共9页0024402aaa或0024402aaa得1a；综上可知：1a．例11．已知函数22()(21)2fxxaxa与非负轴至少有一个交点，求实数a的取值范围．解析：方法一：①方程()0fx有一个实根是0，则(0)0f得：2a；②方程()0fx有两个正根，则02102(0)0af得：924a；③方程()0fx有一个正根一个负根，则(0)0f得：22a；综上可知：924a．方法二：考虑命题的对立面：方程()0fx没有实根或两个负根；①方程()0fx没有实根，则0得：94a；②方程()0fx有两个负根，则02102(0)0af得2a；故2a或94a．因此函数22()(21)2fxxaxa与非负轴至少有一个交点实数a的取值范围是：924a．例12．关于x的方程210xmx只有较小的根在(1,1)内，求实数m的取值范围．解析：①(1)0f时，2m，此时方程为2210xx，两根121xx，不成立；②由(1)0(1)0ff得2m；综上可知：2m．例13．关于x的方程2(1)10xmx在区间[0,2]上有实根，求实数m的取值范围．解析：令2()(1)1fxxmx，第9页共9页①端点：(0)10f；(2)0f得：32m；②在开区间(0,2)上（i）在(0,2)上仅有一个实根，则(0)(2)0ff得：32m；（ii）在(0,2)上有两个相等的实根，则01022m得：1m；（iii）在(0,2)上有两个不等的实根，则01022(0)0(2)0mff得：312m；综上可知：1m．