初一升初二数学暑期衔接教辅

乐教、诚毅、奉献、创新-1-初一升初二暑期数学辅导资料目录第一讲三角形总复习第二讲如何做几何证明题第三讲勾股定理第四讲平方根第五讲立方根第六讲实数第七讲非负数的性质及应用第八讲分母有理化第九讲二次根式的混合运算第十讲平行四边形的性质第十一讲平行四边形的判定第十二讲菱形第十三讲《勾股定理》质量检测第十四讲《实数》质量检测第十五讲《二次根式》质量检测第十六讲综合评估乐教、诚毅、奉献、创新-2-第一讲、三角形总复习【知识精读】1.三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2.三角形中三边之间的关系定理及其推论；3.全等三角形的性质与判定；4.特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5.直角三角形的性质与判定。三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。【分类解析】1.三角形内角和定理的应用例1.如图1，已知ABC中，BACADBC90，于D，E是AD上一点。求证：BEDCABDCE图1说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。乐教、诚毅、奉献、创新-3-2.三角形三边关系的应用例2.已知：如图2，在ABC中，ABAC，AM是BC边的中线。求证：AMABAC12CAMBD图2说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AMABAC，然后通过倍长中线的方法，相当于将AMC绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有1212ABACAMABAC。请同学们自己试着证明。3.角平分线定理的应用例3.如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分DAB。DABMGC图3说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。乐教、诚毅、奉献、创新-4-4.全等三角形的应用（1）构造全等三角形解决问题例4.已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：AMN的周长等于2。DM'CNAMB图4分析：欲证AMN的周长等于2，需证明它等于等边ABC的两边的长，只需证MNBMCN。采用旋转构造全等的方法来解决。说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。（2）“全等三角形”在综合题中的应用例5.如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。CFDAEB图5乐教、诚毅、奉献、创新-5-分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。5、中考点拨例1.如图，在ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（）A.9B.8C.7D.6ABCEDF分析：初看此题，看到DE＝DF＋FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD＋CE＝9”，就应想一想，DF＋FE是否与BD＋CE相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF＋FE也就是DE的长了。6、题型展示例1.已知：如图6，ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，AEBD12。求证：BD平分∠ABC乐教、诚毅、奉献、创新-6-ABFCED图6分析：要证∠ABD＝∠CBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。例2.某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？CBPAD图7分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D为正ABC内一点，P为正ABC外一点，PB＝AB，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，求∠BPD＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。乐教、诚毅、奉献、创新-7-【实战模拟】1.填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。2.在锐角ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。3.如图所示，D是ABC的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与∠B的大小关系。DADCE124.如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是AC中点，AE⊥BM。求证：∠AMB＝∠CMDBDCAEM5.设三个正数a、b、c满足abcabc22224442，求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长。乐教、诚毅、奉献、创新-8-第二讲、如何做几何证明题【知识精读】1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1.已知：如图1所示，ABC中，CACBCADDBAECF90，，，。求证：DE＝DFCFBAED图1乐教、诚毅、奉献、创新-9-分析：由ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CDAD，DCF45。从而不难发现DCFDAE说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例2.已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠FDBCFEA图2说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。乐教、诚毅、奉献、创新-10-2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3.如图3所示，设BP、CQ是ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BCABCMNQPKH图3分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。例4.已知：如图4所示，AB＝AC，∠，，AAEBFBDDC90。求证：FD⊥EDBCAFED321图4乐教、诚毅、奉献、创新-11-说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BMBCAEFDM图5说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。（3）证明二直线的夹角等于90°。乐教、诚毅、奉献、创新-12-3、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）例5.已知：如图6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。求证：AC＝AE＋CD图6BCAEDFO142356分析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOAFO，12。由B60，知566016023120，，。123460，得：FOCDOCFCDC，（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）例6.已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。求证：EF＝BE＋DFGBECAFD123图7分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。乐教、诚毅、奉献、创新-13-4、中考题：如图8所示，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。求证：EC＝EDEBDFAC图8题型展示：证明几何不等式：例题：已知：如图9所示，12，ABAC。求证：BDDCDBA1C2E图9证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DFDBA2C1F图1043说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。乐教、诚毅、奉献、创新-14-【实战模拟】1.已知：如图11所示，ABC中，C90，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有ACADCE。求证：DECD12C图11ABDE2.已知：如图12所示，在ABC中，AB2，CD是∠C的平分线。求证：BC＝AC＋ADACBD图123.已知：如图13所示，过ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP