数列求和中常见放缩方法和技巧(含答案)

..数列求和中常见放缩方法和技巧一、放缩法常见公式：（1)111112nnnnn（2）12122112nnnnnnnnn（3）211nnnnn（4）122nn（二项式定理）（5）1xex，1lnxx（常见不等式）常见不等式：1、均值不等式；2、三角不等式；3、糖水不等式；4、柯西不等式；5、绝对值不等式；若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求n2n131211＜…。证明：因为12222121nnnnnnnn，则111112212322123nnn..212nn，证毕。例5.已知*Nn且)1n(n3221an，求证：2)1(2)1(2nannn对所有正整数n都成立。证明：因为nnnn2)1(，所以2)1n(nn21an，又2)1()1(nnnn，所以2)1n(21n225232)1n(n232221a2n，综合知结论成立。例6、求证：2222111171234n证明：21111(1)1nnnnn2222211111111151171()().1232231424nnnn此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。nnn1211)1ln(113121nnnn311212191817161514131213131216533323279189936365111nnnnn)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn..例6.已知函数1212)(xxxf，证明：对于*Nn且3n都有1)(nnnf。证明：由题意知：2121111211211nnnnnfnnnn221121nnnn，又因为*Nn且3n，所以只须证122nn，又因为0121211nnnnnnnnnCCCCC111212nnnnn，所以1)(nnnf。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜abcbaccab。证明：由于a、b、c为正数，所以abcaabc＞，bacbabc＞，cabcabc＞，所以abcbaccabaabcbabccabc＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则abc为真分数，则abcaabc＜2，同理bacbabc＜2，cabcabc＜2，故abcbaccabaabcbabccabc＋＋＜＋＋2222.综合得12＜＋＋＜abcbaccab。4、证明：101010111111...12212221证明：101010111010101011111111......221222122122221..1010101010101010101010111111112......12212222122222∴101010111111...122122215、求证：1111...2112123!n证明：∵1111!122...22nn∴21111()1111111112......221112123!1222212nnnn6、若*nN，求证：2(1)1223...(1)2nnn证明：∵121(1)22nnnnn∴22(321)3521(2)2(1)21223...(1)...2222222nnnnnnnnnn一、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩．1、若a，b，c，d是正数．求证：12abcdabcabdbcdacd2、求证：213121112222n3、求证：1112(11)1...223nnn4、证明：101010111111...12212221【练习】求证：1111...1(1)2122mmmm..5、求证：1111...2112123!n二、放缩法常见技巧式：（数列求和中常见放缩方法和技巧--放缩后能求和如放缩后是等比或可裂项求和）1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().nnanN求证：*122311...().23nnaaannNaaa证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)23.222232kkkkkkkkakna1222311111111...(...)(1),2322223223nnnnaaannnaaa*122311...().232nnaaannnNaaa若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k，从而是使和式得到化简.例2、函数f（x）=xx414，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）n+)(2121*1Nnn.证明：由f(n)=nn414=1-1111422nn得f（1）+f（2）+…+f（n）n22112211221121)(2121)2141211(41*11Nnnnnn.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。..例3、已知an=n，求证：∑nk=1ka2k＜3．证明：∑nk=12kka=∑nk=131k＜1＋∑nk=21(k－1)k(k＋1)＜１＋∑nk=22(k－1)(k＋1)(k＋1＋k－1)=2111(1)(1)nkkkkk=1＋∑nk=2(1(k－1)－1(k＋1))=1＋1＋22－1n－1(n＋1)＜2＋22＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.三.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证b1ba1aba1ba。证明：构造函数)0x(x1x)x(f，首先判断其单调性，设21xx0，因为0)x1)(x1(xxx1xx1x)x(f)x(f2121221121，所以21xfxf，所以)x(f在],0[上是增函数，取bax1，bax2，显然满足21xx0，所以|)b||a(|f)ba(f，即|b|1|b||a|1|a||b||a|1|b||b||a|1|a||b||a|1|b||a||ba|1|ba|。证毕。二、函数放缩..例8.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.解析:先构造函数有xxxxx11ln1ln,从而)313121(1333ln44ln33ln22lnnnnncausennnn311212191817161514131213131216533323279189936365111nnnnn所以6653651333ln44ln33ln22lnnnnnnn例10.求证:nnn1211)1ln(113121解析:提示:2ln1ln1ln1211ln)1ln(nnnnnnnnn函数构造形式:xxxx11ln,ln当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xxf1)(,首先:ninABCFxS1,从而,)ln(ln|ln11innxxinninnin取1i有,)1ln(ln1nnn,所以有2ln21,2ln3ln31,…,)1ln(ln1nnn,nnnln)1ln(11,相加后可以得到:)1ln(113121nn另一方面ninABDExS1,从而有)ln(ln|ln11innxxiinninnin取1i有,)1ln(ln11nnn,所以有nn1211)1ln(,所以综上有nnn1211)1ln(113121例13.证明:)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn解析:构造函数)1(1)1()1ln()(xxxxf,求导,可以得到:12111)('xxxxf,令0)('xf有21x,令0)('xf有2x,所以0)2()(fxf,所以2)1ln(xx,令12nx有,1ln22nn所以211lnnnn,所以)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnnFEDCBAn-inyxO..例3（市模拟）定义数列如下：Nnaaaannn,1,2211证明：（1）对于Nn恒有nnaa1成立。（2）当Nnn且2，有11211aaaaannn成立。（3）11112112006212006aaa。分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由121nnnaaa得：)1(11nnnaaa)1(111nnnaaa……)1(1112aaa以上各式两边分别相乘得：)1(111211aaaaaannn，又21a11211aaaaannn（3）要证不等式11112112006212006aaa，可先设法求和：200621111aaa，再进行适当的放缩。)1(11nnnaaannnaaa111111111111nnnaaa200621111aaa..)1111()1111()1111(200720063221aaaaaa111120071aa20062111aaa1又2006200612006212aaaa200620062121111aaa原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。数列不等式证明中的一些放缩技巧1.放缩为裂项求和例