第3讲-圆锥曲线中的热点问题.doc

第3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真题感悟1.(2018·浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆x24＋y2＝m(m1)上两点A，B满足AP→＝2PB→，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP→＝2PB→，得－x1＝2x2，1－y1＝2（y2－1），即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以4x224＋（3－2y2）2＝m，x224＋y22＝m，得y2＝14m＋34，所以x22＝m－(3－2y2)2＝－14m2＋52m－94＝－14(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B的横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案52.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3－1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.(1)解由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由1a2＋1b21a2＋34b2知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.因此1b2＝1，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.故C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，此时l垂直于x轴.设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，k1＋k2＝yA－1m＋－yA－1m＝－2m＝－1，得m＝2，此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足.从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.则k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝2kx1x2＋（m－1）（x1＋x2）x1x2.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.∴(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0.解得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)，∴当且仅当m－1时，Δ0，∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2).所以l过定点(2，－1).3.(2019·全国Ⅱ卷)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值.(1)解由题设得yx＋2·yx－2＝－12，化简得x24＋y22＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点.(2)①证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k0).由y＝kx，x24＋y22＝1得x＝±21＋2k2.设u＝21＋2k2，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0).于是直线QG的斜率为k2，方程为y＝k2(x－u).由y＝k2（x－u），x24＋y22＝1得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝u（3k2＋2）2＋k2，由此得yG＝uk32＋k2.从而直线PG的斜率为uk32＋k2－uku（3k2＋2）2＋k2－u＝－1k.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.②解由①得|PQ|＝2u1＋k2，|PG|＝2ukk2＋12＋k2，所以△PQG的面积S＝12|PQ||PG|＝8k（1＋k2）（1＋2k2）（2＋k2）＝81k＋k1＋21k＋k2.设t＝k＋1k，则由k0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号.因为S＝8t1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为169.因此，△PQG面积的最大值为169.考点整合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.圆锥曲线中定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.圆锥曲线中存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.热点一圆锥曲线中的最值、范围问题【例1】(2019·潍坊模拟)已知动点P到定点F(1，0)和到直线x＝2的距离之比为22，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与AB相交于一点(交点位于线段AB上，且与A，B不重合).(1)求曲线E的方程；(2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由.解(1)设点P(x，y)，由题意，可得（x－1）2＋y2|x－2|＝22，得x22＋y2＝1.∴曲线E的方程是x22＋y2＝1.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由条件可得|AB|＝2.当m＝0时，显然不合题意.当m≠0时，∵直线l与圆x2＋y2＝1相切，∴|n|m2＋1＝1，得n2＝m2＋1.联立y＝mx＋n，x22＋y2＝1，消去y得m2＋12x2＋2mnx＋n2－1＝0，则Δ＝4m2n2－4m2＋12(n2－1)＝2m20，x1＋x2＝－4mn2m2＋1，x1x2＝2（n2－1）2m2＋1，S四边形ACBD＝12|AB|·|x1－x2|＝2|m|2m2＋1＝22|m|＋1|m|≤22，当且仅当2|m|＝1|m|，即m＝±22时等号成立，因为直线l与线段AB有交点，所以当m＝22时，n＝－62；当m＝－22时，n＝62.经检验可知，直线y＝22x－62和直线y＝－22x＋62都符合题意.探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.【训练1】(2019·山东师大附中模拟)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍.(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)设P(2，0)，过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A，B两点，若对满足条件的任意直线，不等式PA→·PB→≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值.解(1)依题意，c＝1，a＝2b，又a2＝b2＋c2，得2b2＝b2＋1，∴b2＝1，a2＝2.∴椭圆Γ的标准方程为x22＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则PA→·PB→＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2，当直线l垂直于x轴时，x1＝x2＝－1，y1＝－y2且y21＝12，此时PA→＝(－3，y1)，PB→＝(－3，y2)＝(－3，－y1)，所以PA→·PB→＝(－3)2－y21＝172，当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y＝k(x＋1)，由y＝k（x＋1），x2＋2y2＝2整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2，所以PA→·PB→＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2＝(1＋k2)2k2－21＋2k2－(k2－2)·4k21＋2k2＋4＋k2＝17k2＋22k2＋1＝172－132（2k2＋1）172.要使不等式PA→·PB→≤λ(λ∈R)恒成立，只需λ≥172，故λ的最小值为172.热点二圆锥曲线中定值、定点问题角度1圆锥曲线中的定值【例2－1】(2018·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，求证：1λ＋1μ为定值.(1)解因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).由y2＝4x，y＝kx＋1得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×10，解得k1，又因为k≠0，故k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).从而k≠－3.所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2).由(1)知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2.直线PA的方程为y－2＝y1－2x1－1(x－1).令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝－y1＋2x1－1＋2＝－kx1＋1x1－1＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝－kx2＋1x2－1＋2.由QM→＝λQO→，QN→＝μQO→得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以1λ＋1μ＝11－yM＋11－yN＝x1－1（k－1）x1＋x2－1（k－1）x2＝1k－1·2x1x2－（x1＋x2）x1x2＝1k－1·2k2＋2k－4k21k2＝2.所以1λ＋1μ＝2为定值.探究提高1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练2】如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.(1)解由题设知ca＝22，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝2，所以椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝4k（k－1）1＋2k2，x1x2＝2k（k－2）1＋2k2，从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝y1＋1x1＋y2＋1x2＝kx1＋2－kx1＋kx2＋2－kx2＝2k＋(2－k)