三个正数的算术几何平均不等式

3.三个正数的算术-几何平均不等式333,,,3abcRabcabc引理：如果那么等号当且仅a=b=c时成立．33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2abcabcabababcabcabcabababcabcababccababcabcaabbacbccababcabcabbccaabcabbcca证明：1.三个正数的算术-几何平均不等式：(1)如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3_______,当且仅当______时,等号成立.(2)定理3：如果a,b,c∈R+,那么,当且仅当______时,等号成立.abc3≥3abca=b=c3abca=b=c2.基本不等式的推广.对于n个正数a1,a2,…，an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即___当且仅当___________时,等号成立.12naaann12naaa,≥a1=a2=…=an1.如果x0，如何求的最小值?提示：当且仅当x=1时，取“=”.故最小值为3.212xx32221112xxx3xx3.xxx212xx2.若ab0,则的最小值为_______.【解析】因为ab0,所以a-b0,所以当且仅当即a=2,b=1时，等号成立.答案：31aabb11a(ab)b(ab)b(ab)b313(ab)b3,(ab)b1abb(ab)b，3.设x,y,z0且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值是_______.【解析】因为所以x2y3z≤1，当且仅当即时，等号成立.所以x2y3z的最大值为1.答案：1236xx6x3y4zyyy4z6xyz,22xy4z2，1x2,y1z4，1.对不等式成立的a,b,c的理解(1)在不等式中a,b,c的范围是a0,b0,c0.(2)三个正数的和为定值，积有最大值.积为定值,和有最小值,当且仅当三个正数相等时取等号.3abcabc3类型一用平均不等式求最值【典型例题】1.当x∈(0,1)时，函数y=x2(1-x)的最大值是_______.2.θ为锐角，求y=sinθcos2θ的最大值.【解题探究】1.题1中各项系数有正，有负,如何构造和为定值？2.题2中正余弦的积的形式，如何构造和为定值？【解析】1.因为0＜x＜1,所以1-x＞0,所以当即时，答案：23xx1xxx422yx(1x)4(1x)4(),22327427x1x,22x3max4y.271.当x∈(0,1)时，函数y=x2(1-x)的最大值是_______.2.由y=sinθcos2θ得，y2=sin2θcos4θ当且仅当2sin2θ=cos2θ，即时取等号，此时22212sincoscos2222312sincoscos4(),23273sin3max23y.92.θ为锐角，求y=sinθcos2θ的最大值.【拓展提升】1.用平均不等式求最值的方法(1)利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”.(2)应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等.(3)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性.2.拼凑定值方法在基本不等式中的应用利用平均不等式求解最值问题的前提是要求代数式的和或者积为定值，而题目条件往往无法满足，此时可以将平均不等式的取等条件作为出发点，拼凑定和(或积)，求积(或和)的最大(或小)值.【变式训练】已知a,b,c∈R+,求的最小值.【解析】当且仅当a=b=c时取等号.故最小值为9.abcbca()()bcaabc222222abcbcabcacababc()()3bcaabcabcbccaab2226222bcacababc369,abcbcacab类型二用平均不等式证明不等式【典型例题】1.已知a,b,c∈R+,求证：2.设a,b,c∈R+，求证：【解题探究】1.题1中如果将不等式的左边展开，可以证明不等式成立吗？2.题2中利用一次平均不等式能否证明不等式成立?1119(abc)().abbcac2333111abc23.abc探究提示：1.如果将不等式的左边展开，则不等式变为：无法利用平均不等式来证明.2.不能.因为左边有分式，也有整式的形式，要用一次平均不等式，还要利用一次基本不等式.cab3abbcac，【证明】1.因为a,b,c∈R+,所以(a+b)+(b+c)+(a+c)所以又所以当且仅当a+b=b+c=c+a，即a=b=c时，等号成立.33(ab)(bc)(ac)，33abc(ab)(bc)(ac).231111113,abbcacabbcac1119(abc)().abbcac22.因为a,b,c∈R+,所以所以而所以当且仅当a=b=c时等号成立.333333311111133,abcabcabc3331113abcabc,abcabc33abc2abc23,abcabc333111abc23.abc【变式训练】已知a,b,c∈R+,证明【解题指南】分析待证式子的特征,几何平均不等式证明.【证明】因为a，b，c∈R+,所以所以又所以当且仅当a=b=c时，等号成立.所以2222111()(abc)27.abc3abc3abc0.22223(abc)9abc.3222222111130,abcabc2222332222221111()(abc)39abc27.abcabc2222111()(abc)27.abc用平均不等式解应用题【典型例题】1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_______.2.制造容积为立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板的价格为每平方米30元,用来做侧面的金属板的价格为每平方米20元,要使用料成本最低,则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多少?2【解析】1.设P到长度为3，4，5的三角形三边的距离分别是x,y,z，三角形的面积为S.则又因为32+42=52，所以这个三角形为直角三角形，其面积所以3x+4y+5z=2×6=12,所以所以当且仅当3x=4y=5z,即时等号成立.答案：1S(3x4y5z),21S3462，333x4y5z3x4y5z12,max16(xyz).1544x,y1,z3516152.设此圆柱形桶的底面半径为r米,高为h米,则底面积为πr2,侧面积为2πrh.设原料成本为y元,则y=30πr2+40πrh,因为桶的容积为,所以所以所以当且仅当即时，等号成立，此时答：要使用料成本最低,圆柱形桶的底面半径为米，高为米.22rh,21rh,2r222011y30r10(3r)rrr23311103(3r)303.rr213r,r39r339h.239r339h2【拓展提升】1.用不等式解决实际问题的方法与技巧应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤(1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最值.(4)验证相等条件，得出结论.【类题试解】无论是工业设备还是家庭生活用具，圆柱形的容器都不少见.你是否留心了多数圆柱形容器不是细细长长的，也不是扁扁的，而是高和底面直径大致相等，你是否想过这是为什么？当然，高和底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀称，这是一条理由.但更主要的原因似乎不在这里.我们知道，容器的容积往往是一定的，但表面积却随着形状而改变，这就意味着同样容积的圆柱形容器有的用料较省而有的则费料，如果仅从成本角度考虑，自然应制造用料最省的，那么究竟怎样的圆柱形容器用料最省呢(假设容器是密闭的)？【解析】如图所示，设容器的高为h,底面半径为r,表面积为S，容积为V，V为定值.于是有V=πr2h①及S=2πr2+2πrh，②根据三个正数的算术-几何平均不等式，由②得③将①代入③得④当且仅当2r2=rh,即h=2r,也就是高和底面直径相等时,③④中等号成立，此时，圆柱的表面积最小，制造容器用料最省，同时可算得222233S2rrhrh3(2r)(rh)(rh)32(rh)，23S32V，23S32V,33V4Vr,h.21.若x0,则的最小值为()A.9B.C.13D.不存在【解析】选B.因为x0,所以当且仅当即时等号成立.294xx3 336332229994x2x2x32x2x336xxx，292xx，31x3622.若logxy=-2,则x+y的最小值是()A.B.C.D.【解析】选A.因为logxy=-2,所以x＞0且x≠1,y＞0,且y=x-2,所以当且仅当即时等号成立.332 2323333 2223332xx1132xy322x42，2x12x，3x23.函数则()A.有最小值3B.有最小值C.有最大值3D.有最大值【解析】选B.当且仅当时取等号.232f(x)x(x0)2x，339233922223232323232f(x)xxx2x4x4x4x4x233323233x()()9.4x4x2232x4x4.已知x,y,z均为正数，则的最小值是______.【解析】因为x,y,z均为正数，所以所以xyz=xy+xz+yz(x,y,z均为正数).又(当且仅当x=y=z=3时取等号).答案：11111xyz，xyzyzxzxy1111xyz，xyxzzy1xyz，222xyzxyzyzxzxyxyz222222111(xy)(xz)(yz)222xyzxyxzzy1xyz5.已知a,b,c为正数，求证：(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc.【证明】因为a,b,c为正数，所以所以所以(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc.22222233abc3abc,abc3abc,22222233(abc)(abc)3abc3abc22239abcabc9abc.