二阶常微分方程解

第七节二阶常系数线性微分方程在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐§7.1二阶常系数线性齐次方程及其22dxyd＋pdxdy＋qy＝0(7.1)其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y２我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dxyd，dxdy，y各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，其22dxyd，dxdy，y之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数erxy＝erx(其中r为待定常数)将y＝erx，dxdy＝rerx，22dxyd＝r2erx代入方程(7.1)得r2erx＋prerx＋qerx＝0或erx（r2＋pr＋q）＝0因为erx≠0r2＋pr＋q＝0由此可见，若rr2＋pr＋q＝0(7.2)的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r１，r2，此时er１x，er2x是方程(7.1)因为xrxr21ee＝ex)rr(21所以er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)y＝C1er1x＋C2er2x(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根r1＝r2，此时p2－4q＝0，即有r1＝r2＝2p，这样只能得到方程(7.1)的一个特解y１＝er１x，因此，我们还要设法找出另一个满足12yy≠常数，的特解y2，故12yy应是x的某个函数，设12yy＝u，其中u＝u(x)y2＝uy1＝uer１x对y2dxdy2＝dxduer1x＋r１uer1x＝(dxdu＋r1u)er1x222dxyd＝(r2１u＋2r1dxdu＋22dxud)er1x将它们代入方程(7.1)(r21u＋２r1dxdu＋22dxud)er1x＋p(dxdu＋r1u)er1x＋quer1x＝0［22dxud＋(2r1＋p)dxdu＋(r２１＋pr1＋q)u］er1x＝0因为er1x≠0，且因r1是特征方程的根，故有r２１＋pr１＋q＝0，又因r1＝－2p故有2r1＋p＝0，于是上式22dxud＝0显然满足22dxud＝0的函数很多，我们取其中最简单u(x)＝x则y2＝xerx是方程(7.1)的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是y＝C1er1x＋C2xer1x＝(C1＋C2x)er1x(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根r1＝α＋iβ，r2＝α－i此时方程(7.1)y1＝e(α＋iβ)xy2＝e（α－iβ）xy＝C1e（α＋iβ）x＋C2e（α－iβ）x其中C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx有21(eix＋e－ix)＝cosxi21(eix－e－ix)＝sinx21(y1＋y２)＝21eαx(eiβx＋e－iβx)＝eαxcosβxi21(y1－y2)＝i21eαx(eiβx－e－iβx)＝eαxsinβx由上节定理一知，21(y1＋y2)，i21(y1－y2)是方程(7.1)的两个特解，也即eαxcosβx，eαxsinβx是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)y＝C1eαxcosβx＋C2eαxsinβx或y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)其中C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程(7.2)复数根的综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三特征方程r2＋pr＋q＝0的根微分方程22dxyd＋pdxdy＋qy＝0的通解有二个不相等的实根r1，r2y＝C1er1x＋C2er2x有二重根r1＝r2y＝(C1＋C2x)er1x有一对共轭复根irir21y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)例1.(1)22dxyd＋3dxdy－１０y＝0(2)22dxyd－4dxdy＋4y＝0(3)22dxyd＋4dxdy＋7y＝0解(1)特征方程r2＋3r－10＝0有两个不相等的r1＝－5，r2＝2所求方程的通解y＝C1e－5rC2e2x(2)特征方程r2－4r＋4＝0r1＝r2＝2所求方程的通解y＝(C1＋C2x)e2x(3)特征方程r2＋4r＋7＝0r1＝－2＋3ir2＝－2－3i所求方程的通解y＝e－2x(C1cos3x＋C2sin3x)§7.2二阶常系数线性非齐次方程的由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系22dxyd＋pdxdy＋qy＝f(x)(7.3)的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)方程(7.3)的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行一、f(x)＝pn(x)eαxpn(x)是n次多项式，我们先讨论当α＝0f(x)＝pn（x22dxyd＋pdxdy＋qy＝pn(x)(7.4)(1)如果q≠0，我们总可以求得一n次多项式满足~y＝Qn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋ana0，a1，…an是待定常数，将~y及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数a0，a1，…an例1.求22dxyd＋dxdy＋2y＝x2－3解自由项f(x)＝x2－3是一个二次多项式，又q＝2≠0~y＝a0x2＋a1x＋a2求导数~'y＝2a0x＋a1~y＝2a0代入方程有2a0x2＋(2a0＋2a1)x＋（2a0＋a1＋2a２）＝x2－33a2aa20a2a21a2210100解得47a21a21a210所以特解~y＝21x2－21x－47(2)如果q＝0，而p≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时~y＝Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n＋1)~y＝xQn(x)＝a0xn＋1＋a1xn＋…＋anx代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数a0，a1，…an例2.求方程22dxyd＋4dxdy＝3x2＋2解自由项f(x)＝3x2＋2是一个二次多项式，又q＝0，p＝４≠0，故设特解~y＝a0x3＋a1x2＋a2x求导数~'y＝3a0x2＋2a1x＋a2~y＝6a0x＋2a112a0x2＋（8a1＋6a0）x＋（２a1＋4a2）＝3x2＋2，比较两边同次幂的系数2a4a20a6a83a1221010解得3219a163a41a210所求方程的特解~y＝41x3－163x2＋3219x(3)如果p＝0，q＝0，则方程变为22dxyd＝pn(x)，此时特解是一个(n＋2)~y＝x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积下面讨论当α≠0时，即当f(x)＝pn(x)eαx时方程22dxyd＋pdxdy＋qy＝pn(x)eαx(7.5)的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子eαx，如果能通过变量代换将因子eαx去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设y＝ueαx，其中u＝u(x)是待定函数，对y＝ueαxdxdy＝eαxdxdu＋αueαx求二阶导数22dxyd＝eαx22dxud＋2αeαxdxdu＋α2ueαx代入方程(7.5)eαx［22dxud＋2αdxdu＋α2u］＋peαx［dxdu＋αu］＋queαx＝pn(x)eαx消去eαx22dxud＋(2α＋p)dxdu＋(α2＋pα＋q)u＝pn（x）(7.6)由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结(1)如果α2＋pα＋q≠0，即α不是特征方程r2＋pr＋q＝0的根，则可设(7.6)的特解u＝Ｑn(x)，从而可设(7.5)~y＝Qn(x)eαx(2)如果α2＋pα＋q＝0，而２α＋p≠0，即α是特征方程r2＋pr＋q＝0的单根，则可设(7.6)的特解u＝xQn(x)，从而可设(7.5)~y＝xQn(x)eαx(3)如果r2＋pα＋q＝0，且２α＋p＝0，此时α是特征方程r2＋pr＋q＝0的重根，则可设(7.6)的特解u＝x2Qn(x)，从而可设(7.5)~y＝x2Qn(x)eαx例3.(1)22dxyd＋5dxdy＋6y＝e3x(2)22dxyd＋5dxdy＋6y＝3xe－2x(3)22dxyd＋αdxdy＋y＝－(3x2＋1)e－x解(1)因α＝3不是特征方程r2＋5r＋6＝0的根，故方程具有形如~y＝a0e3x(2)因α＝－2是特征方程r2＋5r＋6＝0的单根，~y＝x(a0x＋a1)e－2x(3)因α＝－1是特征方程r2＋2r＋1＝0的二重~y＝x2(a0x2＋a1x＋a２)e－x例4.求方程22dxyd＋y＝(x－2)e3x解特征方程r２＋1＝0特征根r＝±i得，对应的齐次方程22dxyd＋y＝0Y＝C1cosx＋C２sinx由于α＝3不是特征方程的根，又pn(x)＝x－2为一次~y＝(a0x＋a1)e3x此时u＝a0x＋a1，α＝3，p＝0，q＝1，求u关于x的导数dxdu＝a0，22dxud＝022dxud＋(２α＋p)dxdu＋(α2＋αp＋q)u＝(x－2)10a0x＋10a1＋6a0＝x－2比较两边x2a6a101a10010解得a0＝101，a1＝－5013~y＝(101x－5013)e3x所以原方程的通解是y＝Y＋~y＝C1cosx＋C2sinx＋（101x－5013）e3x例5.求方程22dxyd－2dxdy－3y＝(x２＋1)e－x的通解特征方程r2－2r－3＝0特征根r1＝－1，r2＝3所以原方程对应的齐次方程22dxyd－2dxdy－3y＝0的通解Y＝C1e－x＋C2e3x,由于α＝－1是特征方程的单根，又pn(x)＝x2＋1~y＝x(a0x2＋a1x＋a2)e－x此时u＝a0x3＋a1x2＋a2x，α＝－1，p＝－2，q＝－3对u关于xdxdu＝3a0x2＋2a1x＋a222dxud＝6a0x＋2a1代入22dxud＋(2α＋p)dxdu＋(α2＋pr＋q)u＝x2＋1，－12a0x2＋(6a0－8a)x＋2a1－4a２＝x2＋1比较x的0a8a6121a1a121000解得329a0a4a2161a2011~y＝－4x(3x2＋4x＋89)e－x二、f(x)＝pn(x)eαxcosβx或pn（x）eαxsinβx，即求形如22dxyd＋pdxdy＋qy＝pn(x)eαxcosβx(7.7)22dxyd＋pdxdy＋qy＝pn(x)eαxsinβx(7.8)由欧拉公式知道，pn（x）eαxcosβx，pn(x)eαxsinx分别是函数pn(x)e（α＋iβ）x22dxyd＋pdxdy＋qy＝pn（x）e（α＋iβ）x(7.9)方程(7.9)与方程(7.5)类型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面讨论。由上节定理五知道，方程(7.9)的特解的实部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虚部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程(7.7)或(7.8)的注意到方程(7.9)的指数函数e（α＋iβ）x中的α＋iβ(