初中数学压轴题--动态几何证明及实验题

动态几何证明及实验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．实验操作【要点导航】通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法.实验操作探索——理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.【典例精析】例1取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究：（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论；（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．【思路分析】1．图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以∠BEA=∠AEB'=∠FEC，它们都是60°角，所以△AEF是等边三角形．2．由操作可知AFAD时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F、D重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰3．解（1）△AEF是等边三角形．由折叠过程可得：60BEAAEFFEC．因为BC∥AD，所以60AFEFEC．所以△AEF是等边三角形．（2）不一定．当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽∶长＝AB∶AF＝2:3时正图1图2图3图4好能折出．如果设矩形的长为A，宽为B，可知当ab23时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当aba＜＜23时，按此法无法折出完整的等边三角形．〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解．例2已知：在△ABC中，∠BAC=90°，M为BC中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M重合，并绕着点M旋转，角的两边分别与边AB、AC相交于点E、F．（1）探究1：线段BE、EF、FC是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．（2）探究2：若改变为：“角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F．”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想．〖思路分析〗1．由点M是BC中点，所以构造绕点M旋转180°重合的全等三角形，将线段BE、EF、FC移到同一个三角形中．2．当角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F时，构造和证明的方法不变．证明（1）线段BE、EF、FC可以构成直角三角形．如图1，延长EM到G，使得EM=MG，联结GC、FG．因为M为BC中点，所以BM=CM，又因为∠EMB=∠GMC，EM=MG，所以△EMB≌△GMC，所以BE=GC，EM=MG，∠B=∠MCG．因为FM垂直平分EG，所以FE=FG．又因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90°，所以∠MCG+∠ACB=90°，即∠FCG=90°，所以222FGFCGC，所以222EFFCBE．（2）如图2，当点F在CA的延长线上时，延长EM到G，使得EM=MG，联结GC、FG．因为M为BC中点，所以BM=CM，又因为∠EMB=∠GMC，EM=EG，所以△EMB≌△GMC，所以BE=GC，EM=MG，∠B=∠MCG．因为FM垂直平分EG，所以FE=FG．又因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90°，所以∠MCG+∠ACB=90°，即∠FCG=90°，所以222FGFCGC，所以222EFFCBE．ABCMABCMEFGABCMEFG图3△FCG为阴影ABCMEFG图2△FCG为阴影△FCG为阴影标注三角板为阴影标注三角板为阴影标注三角板为阴影如图3，当点F在AC的延长线上时，同理可证222EFFCBE．〖方法点睛〗线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理．若能将所要求线段移动到同一条直线上，则线段之间是和差关系的可能性较大，若能将所要求线段移动后能构成三角形，则线段之间满足勾股定理的可能性较大．【星级训练】第天，年月日1.★★★如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．（1）操作：由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；（2）连结DF，如果正方形的边长为2，设AE=x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果正方形的边长为2，FG的长为25，求点C到直线DE的距离．2.★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）GFEDACBDACB供试验操作用3.★★★在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）4.★★如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B、C；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的DACB图5DACB图6DACB图7ABCEFG图2DABCDEFG图3ABCFG图1123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-61234567OxylABA'D'E'C(?22??)对称点P的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．探索性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．条件探索【要点导航】“探索”是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。由于题型新颖、综合性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而具体操作时要更注重数学思想方法的综合应用．【典例精析】例1如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BEAB），连结EG并延长交DC于点M，过M作MNAB，垂足为N，MN交BD于点P．设正方形ABCD的边长为1．（1）证明△CMG≌△NBP；（2）设BE=x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．（4）联结PG，若BPG能否成为直角三角形？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．（5）联结AC、AF、CF，求证△ACF的面积为定值．〖思路分析〗1．第（3）小题把四边形BGMP是菱形作为条件探索BE的长．2．BPG中∠PBG始终是45°，而∠BPG和∠PGB有可能为90°，要分情况讨论．ANBEFGCMDP3．第（5）小题即可用割补法求也可用利用AC∥BF将△ACF的面积转化为△ABC的面积．证明（1）因为正方形ABCD，所以90CBAC，45ABD，同理45BEG．因为CD//BE，所以45BEGCMG，因为ABMN，垂足为N，所以90MNB．所以四边形BCMN是矩形．所以NBCM，又因为90PNBC，45NBPCMG，所以△CMG≌△NBP．（2）因为正方形BEFG，所以xBEBG，所以xCG1．从而xCM1，所以22121)1)(1(21)(21xxxBNMNBGy．定义域为：10x．（3）由已知易得MN//BC，MG//BP．所以四边形BGMP是平行四边形．要使四边形BGMP是菱形．则BG=MG，所以)1(2xx．解得22x．所以22BE时四边形BGMP是菱形．（4）如图2，当∠PGB＝90°时，BG＝PG＝MC，即xx1，解得21x，所以BE的长为21．如图3，当∠GPB＝90°时，BG＝2MC，即2(1)xx，解得32x，所以BE的长为32．（5）如图4：11111(1)(1)2222ACFADHEACDAEFHCFSSSSSxxxxx或者，由于1(1)2AEFSxx，1(1)2BCFESxx，因此AEFSBCFES．所以ABQCFQSS，12ACFABCSS．或者因为BF∥AC，所以点B和F到AC的距离相等，即△AFC和△ABC同底等高，所以12ACFABCSS．〖方法点睛〗第（5）小题体现了图形运动中的不变性，正方形BEFG的边长虽然改变但是△AFC的面积不变．ANBEFGCMDP图2ANBEFGCMDP图3ABEFCD图4QHG例2在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1所示，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时LQ；（不必证明）（2）如图2所示，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图3所示，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN＝2，则Q＝（用含有L的式