2.3-平面向量的基本定理及坐标表示

2.3平面向量的基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e.探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角例1下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是A．①②B．②③C．①③D．①②③例2e1、e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2例3如图ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD例4已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE例5（1）如图，OA，OB不共线，AP=tAB(tR)用OA，OB表示OP.（2）设OA、OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且(1)()OPtOAtOBtR.求证：A、B、P三点共线.例6已知a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数,dab、使与c共线.2、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia…………○1我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa…………○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为),(yx.特别地，)0,1(i，)1,0(j，)0,0(0.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA，则点A的位置由a唯一确定.设yjxiOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.3、平面向量的坐标运算（1）若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则ba)()(2211jyixjyixjyyixx)()(2121即ba),(2121yyxx，同理可得ba),(2121yyxx（2）若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB=OBOA=(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)（3）若),(yxa和实数，则),(yxa.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a)(yjxiyjxi，即),(yxa例1已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例2已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例3已知三个力1F(3，4)，2F(2，5)，3F(x，y)的合力1F+2F+3F=0，求3F的坐标.4、平面向量坐标之间关系（1）a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0ba02121yyxx设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中ba.由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)2121yyxx消去λ，x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵b0∴x2，y2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211xyxy∵x1，x2有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b0)01221yxyxba（2）线段的定比分点及λP1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使PP1=λ2PP，λ叫做点P分21PP所成的比，有三种情况：λ0(内分)(外分)λ0(λ-1)(外分)λ0(-1λ0)（3）定比分点坐标公式：若点P１(x1，y1)，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且PP1＝λ2PP，则点P的坐标为（1,12121yyxx），我们称λ为点P分21PP所成的比.而01012020xxyyxxyy特别地，当点P0为内分点或者与点P1重合时，恒有≥0，当点P为外分点时，恒有＜0（≠－1）。（4）点P的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，PP1与2PP同向共线，这时称点P为21PP的内分点.②当λ＜０(1)时，PP1与2PP反向共线，这时称点P为21PP的外分点.（5）线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设1OP＝ａ，2OP＝ｂ，可得OP=baba1111.例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b=(-x，2)共线且方向相同，求x例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0∴AB∥CD又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×60∴AC与AB不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD例6已知点C在线段AB上，且35ACAB,则ACBC，ABBC。