第三章-微分方程模型

1第三章微分方程建模在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。例如，根据自由落体运动的重力加速度g为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。§3.1几个简单实例例3.1（理想单摆运动的周期）本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。（图3-1）从图3-1中不难看出，小球所受的合力为sinmg，根据牛顿第二定律可得：sinmgml从而得出两阶微分方程：0sin0(0)0,(0)gl（3.1）这就是理想单摆运动满足的微分方程。（3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。根据微积分知识，当θ很小时，有sinθ≈θ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程：20)0(,0)0(0lg（3.2）（3.2）的特征方程为02lg对应的特征根为ilg，（其中i为虚单位），故（3.2）中的微分方程的通解为：tctctcossin)(21，其中lg代入初始条件，即可求得满足初始条件的微分方程问题（3.2）的解θ(t)=θ0cosωt注意到当4Tt时，θ(t)=0，即可得出24Tlgt故有lgT2这就是中学物理中理想单摆运动周期的近似公式。例3.2（交通管理中的黄灯问题）在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则。这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？现在，让我们来分析一下这个问题。在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住。驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口。如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能停得住车。也就是说，在街道上存在着一条无形的线，（见图3-2），从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大。当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口。大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用）。对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口。（图3-2）3根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：步1.根据该街道的法定速度0v求出停车线位置（即停车线到街口的距离）步2.根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久（停车线的确定）要确定停车线位置应当考虑到两点：（1）驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间1t，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。（2）驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）1t较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）。例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）。停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下。设汽车质量为m,刹车摩擦系数为f，)(tx为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）。由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程022,0)0(vdtdxxfmgdtxdmot（3.3）在方程(3.3)两边同除以m并积分一次，并注意到当t=0时dtdx=0v，得到0vfgtdtdx(3.4)刹车时间2t可这样求得，当2tt时，0dtdx，故fgvt02将（3.4）再积分一次，得tvfgttx0221)(将fgvt02代入，即可求得停车距离为fgvtx20221)(据此可知，停车线到路口的距离应为：4fgvtvL201021等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。（黄灯时间的计算）现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口。记街道的宽度为D（D很容易测得），平均车身长度为l，这些车辆应通过的路程最长可达到lDL，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：0vlDLT例3.3（饿狼追兔问题）设有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍，问兔子能否安全回到巢穴？建立坐标系如图3-3，兔子在初始时刻位于坐标原点O处，狼在横坐标上的A处,OA间的距离为100米。由于狼要盯着兔子跑，所以狼行走的是一条曲线，且在任一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线是曲线上该点处的切线方向。（图3.3）设狼的行走轨迹为)(xfy，则有0,0100100xxyy又因为狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内，狼行走的距离为兔子行走的距离的两倍。假设在某时刻兔子跑到),0(h处，而狼在),(yx处，则根据微积分中的弧长计算公式容易得出，)(xfy应满足xhdttfxfxyh02''2)(1)(0即有xdttfxxfy02'')(1)(2两边求导得52''')(1)()(2xfxxfxfy注意到)(''xfy，由上式整理得下述模型0)(0)()(1)(21001002xxxfxfxfxfx（3.5）上述方程为高阶微分方程，我们不给出具体的求解过程，但给出最终的求解结果：狼的追踪轨迹为320010301)(2123xxxf因为,603200)0(f所以狼追不上兔子，兔子将会安然无恙地返回巢穴。顺便指出，某些类型的导弹追击目标的方式与本例中狼追兔子的方程完全相同，因而，（3.5）式也是它们的数学模型。§3.2人口模型人口增长问题是当今世界上最受关注的问题之一。在许多媒体上，我们都可以看到各种各样关于人口增长的预报，但你是否曾对这些预报作过比较。假如你曾作过比较，你一定已经发现：不同媒体对同一段时间里人口增长的预报可能会存在着较大的差别。发生这一现象的原因就在于他们采用了不同的人口模型作为预测的依据。下面我们将考察几个不同的人口模型，希望能揭开这个谜底。为了便于表述，我们先作如下假设：用)(tx表示t时刻的人口数量，在这里我们将不区分人口在年龄、性别上的差异，严格地说，人口总数中个体的数目是时间t的不连续函数，但由于人口数量一般很大，我们不妨可以近似地认为)(tx是t的一个连续可微函数，)(tx的变化与出生、死亡、迁入和迁出等因素有关，若用、、DBI和E分别表示人口的出生率、死亡率、迁入率和迁出率并假设他们都是常数，则人口增长的一般模型是00)()(xtxxEIDSdtdx（马尔萨斯模型）要预测一个国家的人口增长情况，首先要搞清人口的出生率与死亡率。假如迁入率和迁出率对一个国家而言相对较小，以至于可以略去不计（像美国那样的移民国家也许是个例外），则模型将变得更为简单。17世纪末，英国神父马尔萨斯（Malthus）发现，人口出生率和死亡率几乎都可以看成常数，因而两者之差r也几乎是常数，这就是说，人口增长率与当时的人口数量成正比，比例常数r被称为人口自然增长率，（它可以通过人口统计数据得到），这就是著名的马尔萨斯模型：600)()(xtxtrxdtdx（3.6）上述方程显然是变量可分离的，很容易求解，其解为)(00)(ttrextx其中0x为初始时刻0t时的人口数。上式说明人口将以指数函数的速度增长。事实上，在实际应用时人们常以年为单位来考察人口的变化情况，例如，取0tt0，1，2，3，……，n，这样就得到了以后各年的人口数为,,,,,02000nrrrexexexx，这表明，按照马尔萨斯模型，人口将以公比为re的等比级数的速度增长。马尔萨斯模型的一个重要特征是人口增长一倍所需的时间是一个常数。设00xtt时的人口数为，002xTtt时人口增长到，则由002xexrT解得：rT2ln比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，人口数大约每35年增长一倍。检查1700年至1961年的260年中人口的实际数量，发现两者几乎完全一致。按照马氏模型计算，人口数量每34.6年增长一倍，两者几乎也完全相同，例如，1961年世界人口数为30.6亿（即3.06×109），人口增长率约为2%。检验过去，模型效果很好；但预测将来，却不能不使我们疑虑重重，因为它包含了明显的不合理因素。假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，世界人口数将达2×1014，即使把海洋也算在里面，每人也只有9.3平方英尺的活动范围（约为1平方米），而到2670年，人口数将达到36×1015，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。导致这个后果的原因是：在马尔萨斯模型中作了如下的假设：人口自然增长率r仅与人口出生率和死亡率有关且为常数。这一假设使模型得以简化，但也隐含了人口的无限制增长，显然用该模型来做长期的人口预测是不会合理的，需要进行修改。（罗杰斯蒂克模型）要对马尔萨斯模型进行修改，应进一步考虑哪些因素呢？人们发现在人口稀少从而资源相对较为丰富时，人口增长得较快，在短期内增长率基本上是一个常数。但当人口数量发展到一定水平后，会产生许多新问题，如食物短缺、居住和交通拥挤等，此外，随着人口密度的增加，传染病会增多，死亡率将上升，所有这些都会导致人口增长率的减少，根据统计规律，这时我们可以假设)1(KxrDB，它较好地反映了人口增长率随着人口数量的增加而减少的现象。其中r为人口的内禀增长率，K为环境可容纳的人口最大数量。按照这个修改的假设，就得到人口增长的罗杰斯蒂克（Logistic）模型：700)()1()(xtxKxrxdttdx（3.7）（3.7）也是变量可分离的微分方程，求解此方程可得：)(00)1(1)(ttrexKKtx从上述解的表达式中，我们可以得出如下结论：（1）Ktxt)(lim，它的实际意义是：不管开始时人口处于什么状态，随着时间的增长，人口总数最终都将趋于其环境的最大容纳量。（2）当Ktx)(时，0)(dttdx当Ktx)(时，0)(dttdx，它的实际意义是：当人口数量超过环境容纳量时，人口将减少，当人口数量小于环境容纳量时，人口数量将增加。导出罗杰斯蒂克模型还另有解释。如前所述，人口增长率应当是人口数量的函数，即)(xrr，可惜我们根本无法求得这一函数。不知道增长率r，就不可能建立起具有实用价值的模型，怎么办呢？我们不妨采用一下工程师原则，工程师们经常采用这样的办法：当我们无法得到一个函数时，就用尽可能简单的函数来代替它。马尔萨斯模型假设r为常数，