椭圆的简单几何性质习题

[学业水平训练]1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()A.13B.33C.12D.32解析：选D.由题意知，2a＝4b，又b2＝a2－c2，得到4c2＝3a2，e2＝34，e＝32.2．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝()A.14B.12C．2D．4解析：选A.将椭圆方程化为标准方程为x2＋y21m＝1，∵焦点在y轴上，∴1m＞1，∴0＜m＜1.由方程得a＝1m，b＝1.∵a＝2b，∴m＝14.3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是()A.33B.32C.23D.22解析：选A.设|AF1|＝1，由△ABF2是正三角形知，|AF2|＝2，|F1F2|＝3，∴椭圆的离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||AF1|＋|AF2|＝33.4．如图所示，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则()A．e1＝e2＜e3B．e2＝e3＜e1C．e1＝e2＞e3D．e2＝e3＞e1解析：选D.由题意，可得e22＝4a2－2a24a2＝12a216a2＝34，e23＝6a2－3a26a2＝27a236a2＝34，而e21＜2a2－a22a2＝3a24a2＝34，故e2＝e3＞e1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的方程是()A.x24＋y2＝1B.x24＋y2＝1或x2＋y24＝1C．x2＋4y2＝1D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16解析：选D.若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝32，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝1，∴方程为x24＋y2＝1，即x2＋4y2＝4；若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝32，∴b2a2＝1－34＝14，∴a2＝4b2＝16，∴方程为x24＋y216＝1，即4x2＋y2＝16.6．椭圆x2＋4y2＝16的短轴长为________．解析：由x216＋y24＝1可知b＝2，∴短轴长2b＝4.答案：47．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于________．解析：根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．所以a＝5，c＝4，故e＝ca＝45.答案：458．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为x24＋y29＝1，因此可设待求椭圆为x2m＋y2m＋5＝1.又b＝25，故m＝20，得x220＋y225＝1.答案：x220＋y225＝19．已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝35.(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率：e＝35.10．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝63，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32，求椭圆的标准方程．解：e＝ca＝a2－b2a＝63，∴a2－b2a2＝23.∴a2＝3b2，即a＝3b.过A(0，－b)，B(a,0)的直线为xa－yb＝1，把a＝3b代入，即x－3y－3b＝0.又由点到直线的距离公式得|－3b|1＋－32＝32，解得：b＝1，∴a＝3.∴所求方程为x23＋y2＝1.[高考水平训练]1．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：选C.由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则y20＝3(1－x204)(－2≤x0≤2)，OP→·FP→＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋y20＝x20＋x0＋3(1－x204)＝14(x0＋2)2＋2，当x0＝2时，OP→·FP→取得最大值为6.2．在平面直角坐标系中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点a2c，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.解析：如图，切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故a2c＝2a，解得e＝ca＝22.答案：223．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．解：如图，连接BF2.∵△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，∴F2B⊥BF1.又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝c，|BF2|＝3c.据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋3c＝2a，∴ca＝3－1.∴椭圆的离心率e＝3－1.4．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝3.∴所求椭圆E的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则x204＋y203＝1.①MP→＝(t－x0，－y0)，MH→＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得MP→·MN→＝0，即(t－x0)(2－x0)＋y20＝0.②由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－14x20＋2x0－3.∵x0≠2，∴t＝14x0－32.∵－2＜x0＜2，∴－2＜t＜－1.∴实数t的取值范围为(－2，－1)．