二次曲线弦的性质与应用

摘要二次曲线是高中数学的重点和难点，而二次曲线的弦又是其主要内容之一，很多问题都有直接或间接涉及到。本文先分别给出二次曲线的焦点弦、中点弦和切点弦的定义，研究它们的若干性质；然后再分别探讨这三类二次曲线的弦在解题中的应用。关键词：二次曲线；焦点弦；中点弦；切点弦AbstractQuadraticcurveistheemphasisanddifficultyinhighschoolmathematics,andconicstringisoneofthemaincontent,alotofproblemshavedirectlyorindirectlyinvolved.Respectively,thepaperproposesthefocusoftheconicstrings,midpointchordandtangentpointofdefinition,studytheirsomeproperties;Thendiscussthesethreekindofquadraticcurverespectivelystringintheapplicationofproblemsolving.Keywords:quadraticcurve;focuschord;midpointchord;chordoftangentpoint目录1引言........................................................12二次曲线弦的定义与性质..........................................12.1焦点弦的定义与性质..........................................12.2中点弦的定义与性质..........................................22.3切点弦的定义与性质..........................................33二次曲线的弦在解题中的应用......................................43.1焦点弦在解题中的应用........................................43.2中点弦在解题中的应用........................................63.3切点弦在解题中的应用........................................74结论.......................................................12致谢...........................................错误!未定义书签。参考文献.......................................................121二次曲线弦的性质与应用1引言解析几何是中学数学课程中的重要内容，二次曲线更是中学数学平面解析几何中的经典曲线，二次曲线充分体现了解析几何的基本思想，是解析几何的基础。二次曲线的弦主要包括椭圆、双曲线和抛物线的焦点弦、中点弦和切点弦，是高考中常涉及的命题和素材。不少学生对有关二次曲线弦的问题有些力不从心，甚至无从下手，因此本文将重点阐述二次曲线弦的性质与应用。2二次曲线弦的定义与性质2.1焦点弦的定义与性质定义2.1.1经过二次曲线的焦点，被二次曲线截得的线段叫做二次曲线的焦点弦.性质2.1.1如图2-1，抛物线22(0)ypxp,直线l过它的焦点并于其相交，12x,x分别为这两个交点的横坐标,则212x4px.证明：当直线的斜率存在时，直线l的斜率为k(k0),设过抛物线22(0)ypxp的焦点F(,0)2p的直线方程为yk(x),2p故联立直线方程和抛物线方程得：2yk(x)22pypx①②,把①带入②得2x2,2pkpx并整理得：222221k2k0,4xkppxp而12x,x是此方程的两个根，故212x.4px当直线的斜率k不存在时，此时直线l的直线方程为：x,2p则12x,x,22pp故212x4px.2图2-1性质2.1.2若e是二次曲线的离心率，p是焦点到准线的距离，则与二次曲线的对称轴的夹角为e的焦点弦的长为：2221coseple.性质2.1.3设直线AB是双曲线22221(0,0)xyabab的焦点弦，F为焦点，直线AB的倾斜角为，,0,FAFB则当双曲线的方程为22221(0,0)xyabab时，满足2222(1)cos.(1)e当双曲线的方程为22221(0,0)xyabba时，满足2222(1)sin(1)e.2.2中点弦的定义与性质定义2.2.1二次曲线C与直线l相交与A，B两点，若弦AB过定点P且被点P平分，那么称该弦AB为圆锥曲线C上过点P的中点弦。性质2.2.1设A,B是二次曲线C：022FEyDxCyAx上的两点，00(,)pxy为弦AB的中点，则)02(22000ECyECyDAxkAB.证明：设A),(11yx、B),(22yx,则0112121FEyDxCyAx……①xOABFy30222222FEyDxCyAx……②有①-②得：0)()())(())((212121212121yyExxDyyyyCxxxxA∴0)()()(2)(22121210210yyExxDyyCyxxAx∴0))(2())(2(210210yyECyxxDAx∵020ECy∴21xx∴ECyDAxxxyy00212122,即ECyDAxkAB0022.性质2.2.2设椭圆12222byax的弦AB的中点为),(00yxP（)00y，则0022yxabkAB.（注：对ab也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为0022yxabk）.性质2.2.3设双曲线12222byax的弦AB的中点为),(00yxP（)00y则0022yxabkAB.性质2.2.4设抛物线pxy22的弦AB的中点为),(00yxP（)00y则0ypkAB.2.3切点弦的定义与性质定义2.3.1经过平面上一定点P且向二次曲线C作切线，得到两切点A，B,连接A，B，则线段AB称为切点弦.性质2.3.1三大曲线的切点弦方程.设点),(00yxP在二次曲线外,过点P作其的两条切线,切点为NM、,则切点弦MN所在直线方程如表2-1.4表2-1二次曲线切点弦方程方程曲线标准方程切点弦方程椭圆)0,0(12222babyax12020byyaxx双曲线)0,0(12222babyax12020byyaxx抛物线)0(22ppxy)(00xxpyy性质2.3.2设过点),(00yxP且向二次曲线0),(yxF引两条切线,),(),(2211yxNyxM、为它们的切点，切线方程是:0222111111FyyExxDyCyxyyxBxAx,0222222222FyyExxDyCyxyyxBxAx因为点),(00yxP在上述两条切线上,所以),(),,(2211yxyx满足方程0222000000FyyExxDyCyxyyxBxAx（**）所以经过NM、的直线方程是（**）.3二次曲线的弦在解题中的应用3.1焦点弦在解题中的应用例3.1.1一条直线的倾斜角为43，该直线与抛物线xy42相交，且过其焦点，设该直线与抛物线交于A,B两点，求A,B两点间的距离.解：43，xy42，2P2222283sinsin()4pAB，故A,B两点间的距离是8.例3.1.2如图所示，已知F、B分别是是椭圆C的右焦点和上端点，连接5线段BF，那么其延长线交C于点D，2BFFDuuuruuur，求C的离心率？图3-1解：由题意可得，设椭圆C的方程为：222210,0,xyabab则0,,,0BbFc，直线:.blyxbc联立两方程可得22221(1)(2)xyabbyxbc，把(2)带入（1）式并整理可得：222222220ababbxxcc，2222acxac，2BFFDuuuruuurQ，2FBDFxxxx，22222acccac，整理得33e.例3.1.3已知椭圆1162522yx，一直线与椭圆交得两个交点，两交点之间的距离为8，且该直线过椭圆的左焦点，求该直线的方程.解：1162522yx，5322abaace，准线为3252cax，其左焦点(3,0)x到其相应准线325x的距离316p，设所求的直线与x轴的倾角为，以ox为极轴，左焦点(3,0)为极点，建立极坐xyDFBO6标系，根据题意得8cos1222eep，8cos)53(131653222，解之得65cos2，94951sin2，54cossin222tg,52tgk，于是所求的直线方程为：20(3)5yx，即：0652yx.3.2中点弦在解题中的应用例3.2.1过椭圆2216436xy上一点P(8,0)作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程.解：设弦PQ的中点M（yx,），弦端点P（11,yx），Q（22,yx），建立方程组得:57616957616922222121yxyx，相减得:0)(16)(922212221yyxx，xxx221，yyy221，0)(216)(292121yyyxxx，yxxxyy1692121，而)8(0xykPQ，9168xyyx.化简可得01672922yxx（8x）.例3.2.2已知直线1xy，抛物线xy42，直线与抛物线相交11(,)Axy，),(22yxB，求线段AB的中点的坐标是多少.解：设线段AB的中点的坐标),(00yxP，根据题意得214yxyx①②，由①带入②得：2(1)4xx，即0162xx，32210xxx，2100xy，其中点坐标为)2,3(.例3.2.3直线与椭圆22221(0,0)xyabab交与A，B，则线段AB的垂直平分线为l，并与x轴交于P)0,(0x，证：abaxaba22022.7证明：设AB的中点为T),(11yx，由题设可知AB与x轴不垂直，∴01y，∴1122yxabkAB∵lAB∴1122xybakl∴l的方程为：)(111221xxxybayy令0y得)(01011221xxxybay∴02221xbaax∵ax||1∴axbaa||0222∴abaxaba22022.3.3切点弦在解题中的应用例3.3.1（08年山东高考理科数学）如图3-1所示，设抛物线方程为22(0)xpyp,M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B.（Ⅰ）求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为(2,2P)时，410AB，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpyp＞上，其中，点C满足OCOAOB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标.图3-18（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22xxAxBxxxMxppp＜22