求数列通项公式及前n项和常见方法

数列求通项及前n项和常见方法求na一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a{n是递增数列，前n项和为nS，且931a,a,a成等比数列，255aS．求数列}a{n的通项公式注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、累加法求形如an-an-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累加求得通项。例2．已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有11(1)nnaann，求na．注意：累加法是反复利用递推关系得到n—1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n—1项的和，要注意求和的技巧三、迭代法求形如1nnaqad(其中,qd为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。例3．已知数列{an}满足a1=1，且an+1=3na+1，求na注意：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同四、公式法若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式211nSSnSannnn求解。例4．已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式；注意：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．五、累乘法对形如1()nnafna的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累乘求得通项。例5．已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是nnannS)12(，求通项公式na．注意：累乘法是反复利用递推关系得到n—1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n—1项的积，要注意求积的技巧六、分n奇偶讨论法在有些数列问题中，有时要对n的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。例6．已知数列{an}中，a1=1且anan+1=21()4n，求通项公式．对n的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有(1)n时，分n为奇偶即可自然引出讨论．分类讨论相当于增加条件,变不定为确定．注意最后能合写时一定要合并七、化归法想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法．同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。例7．已知数列}{na满足11,5a11211,*,.12nnnnaannaaN且当时有求an注意：本题借助1{}na为等差数列得到了na的通项公式，是典型的化归法．常用的化归还有取对数化归，待定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法．八、待定系数法（构造法）求递推式如1nnapaq（p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当如换元法。例9．已知数列{an}满足a1=1，且an+1=3na+2，求na．注意：求递推式形如1nnapaq（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列an+1+1qp=p(an+1qp)来求得,求nS（一）错位相减法求数列前n项和其实，教材中的求和问题只是一类数列的求和问题的特例，我们可以推广到更为一般性的求和问题，一个非零等差数列与一个公比不是1的等比数列的对应之积构成的新数列的求和。我们称这类数列为差比数列，下面我们先来推广这类问题的求和。已知：数列}{},{nnba分别为等差和等比数列，其首项分别为a,b，公差为d，公比为q)1(q，nnnbac，则数列}{nc即为差比数列，记前n项和为nS，则····【例】求和：)0,1(...3232xxnxxxxn【练习】1、已知数列)0,1()12(,..,5,3,112aaanaan，求前n项和2、求和nnnnnS212232...252321132（二）裂项相消法求和所谓裂项，就是把数列的各项分裂成两项之差，相邻的项彼此相消，就可以化简求和。一些常用的裂项公式：【例】求数列)1(1,...,431,321,211nn的前n项和【练习】1、求数列)(...3211,...,43211,3211,211,1*Nnn2、求和：)13)(23(1...1071741411nn3、在数列}{na中，已知11nnan，且9nS，求n的值4、在等差数列}{na中，6,535Sa（1）求na（2）若nT为数列}1{1nnaa的前n项和，求nT（3）若nnTa1对任意正整数n都成立，求实数的最大值练：