二次函数经典练习题

1二次函数若2fxxbxc，且10f，30f，求1f的值．变式1：若二次函数2fxaxbxc的图像的顶点坐标为2,1，与y轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11abcB．3,12,11abcC．3,6,11abcD．3,12,11abc变式2：若223,[,]fxxbxxbc的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数2fxaxbxc的图像与x轴有两个不同的交点1,0Ax、2,0Bx，且2212269xx，试问该二次函数的图像由231fxx的图像向上平移几个单位得到？2．将函数2361fxxx配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数2fxaxbxc，如果12fxfx(其中12xx)，则122xxfA．2baB．baC．cD．244acba变式2：函数2fxxpxq对任意的x均有11fxfx，那么0f、1f、1f的大小关系是A．110fffB．011fffC．101fffD．101fff变式3：已知函数2fxaxbxc的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．3．单调性xyO2已知函数22fxxx，22[2,4]gxxxx．(1)求fx，gx的单调区间；(2)求fx，gx的最小值．变式1：已知函数242fxxax在区间,6内单调递减，则a的取值范围是A．3aB．3aC．3aD．3a变式2：已知函数215fxxax在区间(12,1)上为增函数，那么2f的取值范围是_________．变式3：已知函数2fxxkx在[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围．4．最值已知函数22fxxx，22[2,4]gxxxx．(1)求fx，gx的单调区间；(2)求fx，gx的最小值．变式1：已知函数223fxxx在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A．1,B．0,2C．1,2D．,2变式2：若函数234yx的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于________．变式3：已知函数224422fxxaxaa在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，1fxxx．画出函数fx的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数22111fxmxmx是偶函数，则在区间,0上fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数2312fxaxbxabaxa是偶函数，则点,ab的坐标是________．3变式3：设a为实数，函数1||)(2axxxf，Rx．(I)讨论)(xf的奇偶性；(II)求)(xf的最小值．6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换已知2243,30()33,0165,16xxxfxxxxxx．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223yxx的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2Rxbaxxxf．给下列命题：①)(xf必是偶函数；②当)2()0(ff时，)(xf的图像必关于直线x=1对称；③若02ba，则)(xf在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(xf有最大值||2ba．其中正确的序号是________．③变式3：设函数,||)(cbxxxxf给出下列4个命题：①当c=0时，)(xfy是奇函数；②当b=0，c0时，方程0)(xf只有一个实根；③)(xfy的图象关于点（0，c）对称；4④方程0)(xf至多有两个实根．上述命题中正确的序号为．7．（北师大版第54页A组第6题）值域求二次函数2()26fxxx在下列定义域上的值域：(1)定义域为03xZx；(2)定义域为2,1．变式1：函数2()2622fxxxx的值域是A．3220,2B．20,4C．920,2D．920,2变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．变式3：已知二次函数f(x)=ax2+bx（a、b为常数，且a≠0），满足条件f(1+x)=f(1－x)，且方程f(x)=x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（mn），使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题当,,abc具有什么关系时，二次函数2fxaxbxc的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)．(I)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(II)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．变式2：已知函数2()3fxxaxa，若2,2x时，有()2fx恒成立，求a的取值范围．5变式3：若f(x)=x2+bx+c，不论、为何实数，恒有f(sin)≥0，f(2+cos)≤0．(I)求证：b+c=－1；(II)求证：c≥3；(III)若函数f(sin)的最大值为8，求b、c的值．9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系右图是二次函数2fxaxbxc的图像，它与x轴交于点1,0x和2,0x，试确定,,abc以及12xx，12xx的符号．变式1：二次函数baxy2与一次函数)(babaxy在同一个直角坐标系的图像为1x2xxy1O16变式2：直线3mxy与抛物线xmxyCmmxxyC)12(:,45:222123,m23:323Cyxmxm中至少有一条相交，则m的取值范围是．变式3：对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)=ax2+bx+1（a0）有两个相异的不动点x1、x2．(I)若x11x2，且f(x)的图象关于直线x=m对称，求证m12；(II)若|x1|2且|x1－x2|=2，求b的取值范围．10．（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月D．C．xyOxyOOOxyxyA．B．7可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线2fxxax与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）(I)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(II)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a为实数，记函数xxxaxf111)(2的最大值为g(a)．BCxyDOA8（Ⅰ）求g(a)；（Ⅱ）试求满足)1()(agag的所有实数a．二次函数答案91．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法变式1：解：由题意可知22241411baacbac，解得31211abc，故选D．变式2：解：由题意可知212b，解得b=0，∴012c，解得c=2．变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为231fxxk，展开得2363fxxxk，∴121232,3kxxxx，∴2221212122629xxxxxx，即2326439k，解得43k．所以，该二次函数的图像是由231fxx的图像向上平移43单位得到的，它的解析式是24313fxx，即25363fxxx．2．（北师大版第52页例2）图像特征变式1：解：根据题意可知1222xxba，∴122xxf244acba，故选D．变式2：解：∵11fxfx，∴抛物线2fxxpxq的对称轴是1x，∴12p即2p，∴22fxxxq，∴0fq、13fq、11fq，故有101fff，选C．变式3：解：观察函数图像可得：①a0(开口方向)；②c=1(和y轴的交点)；③4210ab(和x轴的交点)；④10ab(10f)；⑤240ba(判别式)；⑥122ba(对称轴)．3．（人教A版第43页B组第1题）单调性变式1：解：函数242fxxax图像是开口向上的抛物线，其对称轴是2xa，xyO10由已知函数在区间,6内单调递减可知区间,6应在直线2xa的左侧，∴26a，解得3a，故选D．变式2：解：函数215fxxax在区间(12,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴12ax或与直线12x重合或位于直线12x的左侧，即应有1122a，解得2a，∴241257fa，即27f．变式3：解：函数2fxxkx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是2kx，∵已知函数在[2,4]上是单调函数，∴区间[2,4]应在直线2kx的左侧或右侧，即有22k或42k，解得4k或8k．4．（人教A版第43页B组第1题）最值变式1：解：作出函数223fxxx的图像，开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，∴m的取值范围是12m，故选C．变式2：解：函数有意义，应有240x，解得22x，∴2044x2042x20346x，∴M=6，m=0，故M+m=6．变式3：解：函数fx的表达式可化为24222afxxa．①当022a，即04a时，fx有最小值22a，依题意应有223a，解得12a，这个值与04a相矛盾．②当02a，即0a时，2022faa是最小值，依题意应有2223aa，解得12a，又∵0a，∴12a为所求．③当22a，即4a时，2216822faaa是最小值，xyO11依题意应有2168223aaa，解得510a，又∵4a，∴510a为所求．综上所述，12a或510a．5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性变式1：解：函数22111fxmxmx是偶函数210m1m，当1m时，1fx是常数；当1m时，221fxx，在区间,0上fx是增函数，故选D．变式2：解：根据题意可知应有120aa且0