利用60°角构造等边三角形三角形

(1).等边三角形的性质.1.等边三角形的内角都相等,且等于60°2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称.3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.(2)等边三角形的判定:1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.3.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.在△ABC中，∠A=60°，AB﹤AC，有60°的角，自然联想到利用60°的角来构造等边三角形，如何构造呢？ABCFE方法一：延长AB至E，使AE=AC，连结CE，则△ACE为等边三角形，根据是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。方法二：在长边AC上截取ＡＦ＝ＡＢ，连结ＢＦ，则△ＡＢＦ为等边三角形。同样是根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。•例1：如图，等边△ABC，P为△ABC外一点，且∠APC=60°，求证：PA—PC=PB。ABCPE132分析：在△APC中，已知∠APC=60°，利用∠APC=60°用两种方法构造等边三角形方法一：在AP上截取PE=PC，连结CE，构造△PEC为等边三角形来解决问题，过程如下：证明：在PA上截取PE=PC，连结CE∵∠APC=60°PE=PC∴△PEC为等边三角形∴CE=CP∠PCE=60°=∠2+∠3∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∠ACB=60°=∠1+∠2∴∠1=∠3在△ACE和△BCP中ＡＣ＝ＢＣ∠1=∠3ＣＥ＝ＣＰ∴△ACE≌△BCP（ＳＡＳ）∴ＡＥ＝ＢＰ∵ＰＡ－ＰＥ＝ＡＥ∴ＰＡ－ＰＣ＝ＰＢ方法二：在ＰＣ延长线上截取ＰＦ＝ＰＡ，连结ＡＦ构造等边△ＡＰＦ来解决问题。FABCP123证明：延长ＰＣ至Ｆ，使ＰＡ＝ＰＦ，连结ＡＦ∵∠APC=60°ＰＡ＝ＰＦ∴△ＡＰＦ为等边三角形∴ＡＰ＝ＡＦ＝ＰＦ∠ＰＡＦ＝60°＝∠2+∠3又∵△ABC为等边三角形∴ＡＢ=ＡＣ∠BAC=60°=∠1+∠2∴∠1=∠3在△ABP和△ACＦ中ＡＢ=ＡＣ∠1=∠3ＡＰ＝ＡＦ∴△ABP≌△ACＦ（ＳＡＳ）∴ＢＰ＝ＣＦ∵ＰＦ＝ＰＣ＋ＣＦ∴ＰＦ＝ＰＣ＋ＢＰ∴ＰＡ＝ＰＣ＋ＢＰ∴ＰＡ－ＰＣ＝ＰＢ例2：△ABC中，∠BAC=60°,以BC为边在△ABC的同侧做等边△DBC,BD,AC相交于点E，连结AD,如图，若=3，求的值ABACABACADAB分析思路：在△ABC中，利用∠BAC=60°构造等边三角形来解决问题。ABCDEH方法一：在AC上截取AH=AB=a，连结BH123∵=3∴AC=3a∵∠BAC=60°,AH=AB=a∴△ABH为等边三角形，CH=AC-AH=3a-a=2a∴AB=BH,∠ABH=60°=∠1+∠2又∵△BDC为等边三角形∴BD=BC,∠DBC=∠2+∠3∴∠1=∠3在△ABD和△HBC中AB=BH∠1=∠3BD=BC∴△ABD≌△HBC（SAS）∴AD=CH=2a∴==ADABaa221方法二：延长AB至H,使AH=AC，连结HCABCDH∵=3∴AC=3AB,设AB=a,则AC=3a∵∠BAC=60°’AH=AC=3a∴△AHC为等边三角形∴CH=AC,∠ACH=60°=∠1+∠2BH=AH-AB=3a-a=2a又∵△BDC为等边三角形∴BC=DC,∠DCB=60°=∠2+∠3∴∠1=∠3在△BCH和△DCA中CH=AC∠1=∠3BC=DC∴△BCH≌△DCA(SAS)∴BH=AD=2a∴==ABACADABaa221AC1：如图，等边△ABC中，D为BC上一点，∠ADE=60°，边DE与∠ACB的外角平分线交于E，（1）：求证：AD=DE（2）:若D在CB的延长线上(1)的结论是否依然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请证明。方法一F6357421ECABDN213HECABDN方法二)60°21GECABDN方法三2：如图，等边△ABC中，点D在AC上,点E在BC的延长线上，且AD=CE,若DM⊥BC求证:BM=EM方法一60°DCABEMH方法二方法三60°GCABEDMD60°CABENM1：你有什么收获？2:如何利用60°角构造等边三角形来解决问题