函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

1函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf若写成：)()(xbfxaf，则函数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称证明：设点),(11yx在)(xfy上，通过)2()(xafxf可知，)2()(111xafxfy，即点)(),2(11xfyyxa也在上，而点),(11yx与点),2(11yxa关于x=a对称。得证。说明：关于ax对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。∵1111(,)(,)axyaxy与关于xa对称，∴函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf∵1111(,)(2,)xyaxy与关于xa对称，∴函数)(xfy关于ax对称)2()(xafxf∵1111(,)(2,)xyaxy与关于xa对称，∴函数)(xfy关于ax对称)2()(xafxf（2）函数的点对称：函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称2证明：设点),(11yx在)(xfy上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2,2(11ybxa也在)(xfy上，而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称得证。说明:关于点),(ba对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如())axax与（之和为2a。（3）函数)(xfy关于点by对称:假设函数关于by对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于by对称，比如圆04),(22yxyxc它会关于y=0对称。（4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。总结：x的系数同为为1，具有周期性。(二)、两个函数的图象对称性1、()yfx与()yfx关于X轴对称。证明：设()yfx上任一点为11(,)xy则11()yfx，所以()yfx经过点11(,)xy∵11(,)xy与11(,)xy关于X轴对称，∴11()yfx与()yfx关于X轴对称.注：换种说法：)(xfy与()()ygxfx若满足)()(xgxf，即它们关于30y对称。2、()yfx与()yfx关于Y轴对称。证明：设()yfx上任一点为11(,)xy则11()yfx，所以()yfx经过点11(,)xy∵11(,)xy与11(,)xy关于Y轴对称，∴()yfx与()yfx关于Y轴对称。注：因为11(,)xy代入()yfx得111(())()yfxfx所以()yfx经过点11(,)xy换种说法：)(xfy与()()ygxfx若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。()(())()gxfxfx3、()yfx与(2)yfax关于直线xa对称。证明：设()yfx上任一点为11(,)xy则11()yfx，所以(2)yfax经过点11(2,)axy∵11(,)xy与11(2,)axy关于xa轴对称，∴()yfx与(2)yfax关于直线xa对称。注：换种说法：)(xfy与()(2)ygxfax若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。证明：设()yfx上任一点为11(,)xy则11()yfx，所以)(2xfay经过点11(,2)xay∵11(,)xy与11(,2)xay关于ya轴对称，∴)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称.注：换种说法：)(xfy与()2()ygxafx若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(a,b)对称。证明：设()yfx上任一点为11(,)xy则11()yfx，所以2(2)ybfax经过点11(2,2)axby∵11(,)xy与11(2,2)axby关于点(a,b)对称，∴)2(2)(xafbyxfy与关4于点(a,b)对称.注：换种说法：)(xfy与()2(2)ygxbfax若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(a,b)对称。(2)2(2(2))2()gaxbfaaxbfx6、)(xafy与()yfxb关于直线2bax对称。证明：设()yfx上任一点为11(,)xy则11()yfx，所以()yfax经过点11(,)axy,()yfbx经过点11(,)bxy,∵11(,)axy与11(,)bxy关于直线2bax对称，∴)(xafy与()yfxb关于直线2bax对称。三、总规律：定义在Ｒ上的函数xfy，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数)(xfy，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性：（1）函数)(xfy满足如下关系式，则Txf2)(的周期为A、)()(xfTxfB、)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或C、)(1)(1)2(xfxfTxf或)(1)(1)2(xfxfTxf（等式右边加负号亦成立）D、其他情形（2）函数)(xfy满足)()(xafxaf且)()(xbfxbf，则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(abxfbxabfbxabfxafxf即可以得到)(xfy的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”5（3）如果奇函数满足)()(xfTxf则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为kTTx22)(zk，根据)2()(Txfxf可以找出其对称中心为)0(kT，)(zk（以上0T）如果偶函数满足)()(xfTxf则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为)0,22(kTT)(zk，根据)2()(Txfxf可以推出对称轴为kTTx2)(zk（以上0T）（4）如果奇函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以2T为周期的周期性函数。定理1：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期.定理2：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期.定理3：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba4为周期.定理4：若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b都对称，则f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理5：若函数f(x)的图像关于点（a,c）和(b,c)都成中心对称，则f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理6：若函数f(x)关于点（a,c）和x=b都对称，则f(x)是周期，4（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理7：若函数f(x)满足f(x-a)=f(x+a)(a0),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。6定理8：若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0)(或f(x+a)=)(1xf或f(x+a)=－)(1xf)则f(x)周期函数，2a是它的一个周期。定理9：若函数)0,1)(()(1)(1)(axfxfxfaxf,则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期。若f(x)满足)0,1)(()(1)(1)(axfxfxfaxf,则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。