1.1.3集合的基本运算

集合之间的基本关系是类比实数之间的关系得到的，同样类比实数的运算，能否得到集合之间的运算呢？想一想实数有加法运算，那么集合是否也有“加法”呢？下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？（1）A={a，b}，B={c，d},C={a，b，c，d};（2）A={x∣x是有理数}，B={x∣x是无理数}，C={x∣x是实数}；（3）A={x|1x6},B={x|4x8},C={x|1x8}；观察1.1.3集合的基本运算ABABAUB集合A集合B集合CA246810-2BC请观察A，B，C这些集合之间是什么关系？a,bc,da,b,c,dx是有理数x是无理数x是实数集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}知识要点1.并集用Venn图表示：ABA∪B例1设A={a,b,c},B={a,c,d,f},求A∪B.解:A∪B={a,b,c}∪{a,c,d,f}={a,b,c,d,f}例2设集合A={x|-4x2},集合B={x|1x4},求A∪B.解:A∪B={x|-4x2}∪{x|1x4}={x|-4x4}注意：求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次.如：a,c.在数轴上表示并集-4-3-2-101234ABA∪B(1)AA=A(2)A=A(3)AB=BA(4)ABAB=B则BAA∪B=B注意观察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间的关系吗?(1)A={2,4,6,8,10},B={2,3,5,8,9,12},C={2,8};(2)A={x|1x6},B={x|4x8},C={x|4x6}；集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成.2.交集一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}知识要点用Venn图表示：ABA∩B例3设A={x|x-1},B={x|x1}，求A∩B.例4设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B.解：A∩B={x|x-1}∩{x|x1}={x|-1x1}．解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}={x|x是等腰直角三角形}．1-10A∩B112212lL,lL,l,l.例设平面内直线上的点的集合为直线上点的集合为试用集合的运算表示的位置关系12121212121212:(1)l,lPLL={P};(2)l,lLL=;(3)l,lLL=L=L.线点为点线为线为解直相交于一可表示∩直平行可表示∩直重合可表示∩BA(1)AA=A(2)A=(3)AB=BA(4)ABA,ABB(5)ABAB=A则(6)AAB,BAB,ABAB.注意A∩B=A方程的解集，在有理数范围内有几个解？分别是什么？2(x-1)(x-3)=0在不同的范围内研究问题，结果是不同的，为此，需要确定研究对象的范围.想一想在实数范围内有几个解？分别是什么？1个，{1}3{133}个解，解集是，，-一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.通常也把给定的集合作为全集.知识要点对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.补集可用Venn图表示为:UAACU记作：.,AxUxxACU且对于任意的一个集合A都有（1）UACAU)(（2）)(ACAU（3）AACCUU)(UAACU解：将集合A=(-1,2]用数轴表示为-10123x求用区间表示的集合的补集时，要特别注意区间端点的归属．例5设全集为R，,求。]2,1(AACU解得),2(]1,(ACU例6设U={x|x是小于7的正整数},A={1，2，3}，B={3，4，5，6},求CUA,CUB.例7设全集U=R,M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜1}，则CUM，CUN.解：根据题意可知CUM={x|x1}，CUN={x|x0且x≥1}.解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6},所以CUA={4,5,6}CUB={1,2}.x|0x5例8设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{x|－4≤x≤1}，C＝(3)(A∪B)∩C；(4)(A∩C)∪B.，求(1)A∩B；(2)B∪C；解：(1)A∩B＝{x|－3≤x≤1}(2)B∪C＝(3)(A∪B)∩C＝x|-4x5x|0x3(4)(A∩C)∪B＝{x|－4≤x≤3}注意：用数轴来处理比较简捷（数形结合思想）例9设集合A＝{－4，2m－1，m2}，B＝{9，m－5，1－m}，又A∩B＝{9}，求A∪B?解：(1)若2m-1＝9，得m＝5，得A＝{-4,9,25}，B＝{9,0,-4}，得A∩B＝{-4,9}，不符合题.(2)若m2＝9，得m＝3或m＝-3，m＝3时，A＝{-4,5,9}，B＝{9,-2,-2}违反互异性，舍去.当m＝-3时，A＝{-4,-7,9}，B＝{9,-8,4}符合题意。此时A∪B＝{-4,-7,9,-8,4}由(1)(2)可知：m＝-3，A∪B＝{-4,-7,9,-8,4}例10已知U＝R，A＝{x|x－3＞0}，B＝{x|(x＋2)(x－4)≤0}，求：(1)C∪(A∪B)(2)C∪(A∩B)x|x2x4-　＞或解：（1）C∪(A∪B)=（2）C∪(A∩B)={x|x≤3或x＞4}(1)运算顺序：括号、补、交并；(2)注意端点值是否可以取到；(3)运算性质：C∪(A∪B)＝C∪A∩C∪B,C∪(A∩B)＝C∪A∪C∪B，C∪A∩A＝Φ，C∪A∪A＝U，C∪(C∪A)＝A.注意课堂小结集合运算补运算并运算交运算ABxxAxB或AB=xxAxB∪或AB=xxAxB∩且UA=xxUxAð且进行以不等式描述的或以区间形式出现的集合间的并、交、补运算时，一定要画数轴帮助分析.（1）运算顺序：括号、补、交并；（2）运算性质：BCACBACUUU)(BCACBACUUU)(.)(,,AACCUAACAACUUUU高考链接B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）1.（2008江西)定义集合运算：A*B={z|z=xy,xA,yB}.设A={1，2}A.0B.2C.3D.6解：由条件可知A*B={0，2，4}，所以之和为6.D2.（2009上海）已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是解：∵A∪B=(-∞,1]∪[a,+∞)=R,∴a≤1a≤13.(2009全国)设集合A={4，5，7，9}，B={3，7，4，8，9}，全集U=A∪B,则集合ð（A∩B）中的元素共有()AA.3个B.4个C.5个D.6个解析：本题目主要考察集合的运算.A∩B={4，7，9}U=A∪B={3,4，5，7，8，9}，（A∩B）={3,5,8},所以（A∩B）中的元素共3个.ðð4.(2009广东)已知全集U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|+x=0}关系的韦恩（Venn）图是()2xNMUNMUNMUMNUABCDB课堂练习√××1.判断正误.（1）若U={四边形}，A={梯形}，则UA={平行四边形}（2）若U是全集，且AB，则UACUB（3）若U={1，2}，A=U，则UA=ððð2.A=-1,0,2,B=0,2,4,6，求AUB？AUB={-1,0,2,4,6}3．A=x-2x2,B=x0x4，剟?求AUB?AUB={x|-2x4}„-2-101234AB解:将集合A、B在数轴上表示（如图），4.设求AB.A=(-1,2],B=(0,3]，所以AB=(-1,2](0,3]=(0,2]5.设A=(x,y)x+y=1,B=(x,y)x-y=6,求AB.解：解方程组x+y=1x-y=6得x=3.5y=-2.5所以AB={(-2.5,3.5)}.x-10123AB6.设A={2,-1,x2-2x+1},B={2y,-4,x+1},C={-1,4}且A∩B=C,求x,y?解：由A∩B=C知4A∴必然x2－2x+1=4得x1=-1,x2=3由x=－1得x+1=0C∴x－1∴x=3x+1=4C此时2y=－1,∴y=－1/2∴综上所述x=3,y=－1/2.27.A={-4,2a-1,a},B={a-5,1-a,9},AB={9},a,AB.设已知∩求的值并求出∪2AB={9},9Aa=92a-1=9,a=3a=5a=3A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B.当时违解：∵∩∴所以或解得或，中元素背了互异性，舍去a=-3A={9,-7,-4},B={-8,4,9},AB={9}AB={-7,-4,-8,4,9}.a=5A={25,9,-4},B={0,-4,9},AB={-4,9},AB={9}.a=3AB={-7,-4,-8,4,9}.当时满足题意故当时此时与综，∩，∪，∩∩，∪矛盾故舍去上所述且，8.A={x|-3x-1}{x|x0},B={x|axb}AB={x|x-3},AB={x|0x2},a,b.设集合∪≤≤若∪∩≤求的值AB={xx-3}-3a-1,AB={x0x2}b=2,a=-1.解：由∪可以知道由∩可以知道教材习题答案UUUUU1.AB={5,8},AB={3,4,5,6,7,8};2.A={-15}B={-1,1},AB={-1,1,5},AB={-1};3.AB={xx};AB={xx};4.CA={1,3,6,7},CB={2,4,6},A(CB)={2,4},(CA)(CB)={6}.，，因为所以是等腰直角三角形是等腰三角形或直角三角形因为所以∩∩