(新教材)【人教B版】20版必修一2.1.2(数学)

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集判别式的符号解集Δ=b2-4ac0__________________________Δ=b2-4ac=0Δ=b2-4ac0⌀22bb4acbb4ac{,}2a2ab{}2a【思考】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=适合用于所有的一元二次方程吗？2bb4ac2a提示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即：当根的判别式Δ=b2-4ac≥0时适用.2.一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1+x2=-；x1x2=.baca【思考】利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？提示：先把方程化为ax2+bx+c=0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ=b2-4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)用公式法解一元二次方程3x2=-2x+3时，a=3，b=-2，c=3，再代入公式即可.()(2)方程x2-2=0的解是x=.()2(3)若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1x2=-2.()提示：(1)×.用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为标准形式，再求a，b，c的值.(2)×.方程x2-2=0的解是x=±.(3)×.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中x1x2=.2ca2.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为()A.(x+1)2=6B.(x+2)2=9C.(x-1)2=6D.(x-2)2=9【解析】选C.因为x2-2x-5=x2-2x+1-6=0，所以(x-1)2=6.3.解下列方程，最适合用公式法求解的是()A.(x+2)2-16=0B.(x+1)2=4C.x2=8D.x2-3x-5=0【解析】选D.公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程.124.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别为()A.b=-1，c=2B.b=1，c=-2C.b=1，c=2D.b=-1，c=-2【解析】选D.b=x1+x2=1-2=-1，c=x1x2=-2.类型一配方法解一元二次方程【典例】1.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为()A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x-4)2=17D.(x-4)2=152.用配方法求方程2x2+1=3x的解集.【思维·引】1.方程的二次项系数为1，将常数项移到等号右边得x2-8x=1，然后等号两边加上一次项系数一半的平方，等号左右两边分别化为完全平方式和常数.2.先把方程化成2x2-3x+1=0，它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.【解析】1.选C.移项，得x2-8x=1.配方，得x2-8x+42=1+42，即(x-4)2=17.2.移项，得2x2-3x=-1.二次项系数化为1，得x2-配方，得x2-由此可得x-x=1或x=，所以原方程的解集为31x.22＝222331331x()()(x).2424416＋＝＋，即＝3144＝，121{,1}.2【类题·通】用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将一元二次方程化为一般形式.(2)将常数项移到方程的右边.(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1.(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数.(5)当方程右边是一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是一个负数时，原方程无实数解.【习练·破】1.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是()A.(x+2)2=3B.(x-2)2=3C.(x-2)2=5D.(x+2)2=5【解析】选A.因为x2+4x+1=(x+2)2-3=0，所以(x+2)2=3.2.用配方法解方程：2x2-7x+6=0.【解析】系数化为1，得x2-x+3=0.配方，得x2-即所以x-=±.所以x1=2，x2=.7274949x321616＋＝＋，271(x).416＝741432【加练·固】用配方法求方程3x2-6x+4=0的解集.【解析】移项，得3x2-6x=-4.二次项系数化为1，得x2-2x=-.配方，得x2-2x+12=-+12，(x-1)2=-.因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程的解集为⌀.434313类型二公式法解一元二次方程【典例】1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到().2.用公式法求方程2x2-4x-1=0的解集.3636AxB.x22323323CxDx22...【思维·引】用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，分清楚a，b，c，然后代入公式即可.【解析】1.选D.因为4x2-12x=3，所以4x2-12x-3=0，因为a=4，b=-12，c=-3，所以Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×(-3)=1920，所以x=121921283323.24822.a=2，b=-4，c=-1，所以Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=240，所以x=所以x=或x=，所以原方程的解集为42442626,22422622622626{,}.22【内化·悟】用公式法解一元二次方程时哪些地方易出错？提示：用公式法解一元二次方程注意点有：①注意化方程为一般形式；②注意方程有实数根的前提条件“Δ≥0”；③注意方程有根应该是两个；④求解出的根注意适当化简.【类题·通】用公式法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值.(2)求出b2-4ac的值.(3)若b2-4ac≥0，将a，b，c的值代入求根公式计算，得出方程的解；若b2-4ac0，则方程无实根.【习练·破】1.方程x2+4x+6=0的根是()A.x1=，x2=B.x1=6，x2=C.x1=2，x2=D.x1=x2=-232232262【解析】选D.因为a=，b=4，c=6，所以Δ=b2-4ac=(4)2-4××6=0，所以x=所以x1=x2=-.322223(43)0436,222262.解方程：5x2-3x=x+1.【解析】方程化为5x2-4x-1=0，a=5，b=-4，c=-1，Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=360，方程有两个不等的实数根，x=即x1=1，x2=-.2436bb4ac46,2a2510＝15【加练·固】求方程x2+17=8x的解集.【解析】方程化为x2-8x+17=0.a=1，b=-8，c=17.Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-40.所以原方程的解集为⌀.类型三一元二次方程根与系数的关系角度1一元二次方程根的判别式【典例】关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是()世纪金榜导学号A.0B.8C.4±D.0或82【思维·引】方程有两个相等实根，所以Δ=b2-4ac=0.【解析】选D.依题意得a=1，b=m-2，c=m+1，所以Δ=(m-2)2-4(m+1)=0，所以m2-4m+4-4m-4=0，所以m2-8m=0，所以m1=0，m2=8.【素养·探】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的逆定理成立吗？提示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac逆定理也成立.即：(1)当方程有两个不相等的实数根时，Δ0.(2)当方程有两个相等的实数根时，Δ=0.(3)当方程没有实数根时，Δ0.角度2一元二次方程根与系数的关系【典例】1.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A.x2-7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x-12=0D.x2-7x-12=02.已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下列式子的值.22121221xx1xx.2.xx【思维·引】1.以x1，x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.2.将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.【解析】1.选A.因为一元二次方程中，x1+x2=7，x1x2=12，又因为x1+x2=-，x1x2=，令a=1，则b=-7，c=12，所以原方程为：x2-7x+12=0.baca2.由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=5，x1·x2=-7.(1)=(x1+x2)2-2x1x2=52-2×(-7)=25+14=39.(2)2212xx2212122112xxxx39.xxxx7【类题·通】利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤(1)算：计算出两根的和与积.(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式.(3)代：代入求值.【发散·拓】如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q.【习练·破】1.下列对关于x的一元二次方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是()A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.无法确定【解析】选A.依题意得a=1，b=2k，c=k-1，所以Δ=b2-4ac=(2k)2-4(k-1)=4k2-4k+4=(2k-1)2+30，所以方程有两个不等实根.2.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0有两个实数根x1，x2，则m2的值是()A.B.-C.4D.-41211()xx＋4m44m4【解析】选D.因为x2-4x-m2=0有两个实数根x1，x2，所以x1+x2=4，x1x2=-m2，所以m2=m2·=m2·=-4.1211()xx＋1212xxxx24m【加练·固】若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数，则a=________.【解析】因为方程的两根互为倒数，所以两根的乘积为1，即a2=1，所以a=1或a=-1.当a=1时，原方程化为x2+1=0，方程无实数根，不符合题意，故舍去；当a=-1时，原方程化为x2-2x+1=0，Δ=0，符合题意.故a=-1.答案：-1