(完整版)全等三角形几种类型总结

全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形'''''ABCDE．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．判定三角形全等的基本思路：SASHLSSS找夹角已知两边找直角找另一边ASAAASSASAAS边为角的对边→找任意一角→找这条边上的另一角→已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的对角→找该角的另一边→ASAAAS找两角的夹边已知两角找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴平移全等型⑵对称全等型⑶旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．板块一、全等三角形的认识与性质【例1】在AB、AC上各取一点E、D，使AEAD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，若12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．21EODCBA【巩固】如图所示，ABAD，BCDC，EF、在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．例题精讲板块二、三角形全等的判定与应用【例2】(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，ACDE∥，BCEF∥，ACDE．求证：AFBD．FEDCBA【例3】(2008年宜宾市)已知：如图，ADBC，ACBD，求证：CD．ODCBA【巩固】如图，AC、BD相交于O点，且ACBD，ABCD，求证：OAOD．ABCDO【例4】(哈尔滨市2008年初中升学考试)已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC．求证：OAOD．FEODCBAFAEPDCB【例5】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：BFCE．FECBA【例6】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BECF．求证：AEBF．PFEDCBA【巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF．求证：BGCFBC．GABCDEF【例7】在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点．求证：AMCD．MEDCBA板块三、截长补短类【例1】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?NEBMAD【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？NCDEBMA【例2】如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为()A.aB.kC.2khD.hMDCBA【例3】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.FEDCBA【例4】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．NMDCBA【例5】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDECEDBA板块四、与角平分线有关的全等问题【例1】如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且3OD，求ABC的面积．【例2】在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：ABAC．【例3】已知ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB平分线．求证：CDBE．EDCBA【例4】已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．ADOCBDCBAOEDCBA【例5】如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：EDEB．EDCBA4321【例6】(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．FEDCBA【例7】如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求证：EF∥ABFACDEB【巩固】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的角平分线．FGEDCBA【巩固】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．CDBPA【例8】如图，在ABC中，2BC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：ABBDAC．DCBA【例9】如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACAB．MFDCBA【巩固】如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中点，求证DEAB∥且1()2DEABAC．EDCBA【巩固】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证2ABACAM．MDCBA【例10】如图，ABC中，ABAC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADBD于D，AECE于E．求证：ADAE．HGDABCE【巩固】已知：AD和BE分别是ABC△的CAB∠和CBA∠的外角平分线，CDAD，CEBE，求证：⑴DEAB∥；⑵12DEABBCCA．EBADC【例11】在ABC中，MB、NC分别是三角形的外角ABE、ACF的角平分线，AMBM，ANCN垂足分别是M、N．求证：MNBC∥，12MNABACBCFENMCBA【巩固】在ABC中，MB、NC分别是三角形的内角ABC、ACB的角平分线，AMBM，ANCN垂足分别是M、N．求证：MNBC∥，12MNABACBCNMCBA【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作EABCE于，并且)(21ADABAE，则ADCABC等于多少？EDCBA【例12】如图，180AD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上．①探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系．②探讨线段BE与CE之间的位置关系．EDCBA版块一、倍长中线【例1】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．MCBA【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC中，5,9ABAC，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【例2】如图，ABC中，ABAC，AD是中线．求证：DACDAB．DCBA【例3】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．FEDCBA【例4】已知△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE．GEDCBA【例5】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．MFECBA【例6】在RtABC中，90A，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？FEDCBA【巩固】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABAC．NMDCBA【例7】(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．FEDCBA版块二、中位线的应用【例8】AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：13AEAC．FADECB【例9】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CDEC．EDCBA【巩固】已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证CD=2CEEDBCA【例10】已知：ABCD是凸四边形，且ACBD．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点．求证：∠GMN∠GNM．NMGFEDCBA【例11】在ABC中，90ACB，12ACBC，以BC为底作等腰直角BCD，E