线性方程组的应用

线性方程组的应用举例【例1】（配平化学方程式）[C.Lay]化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量。配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等。一个系统的方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解。下面我们利用此思路来配平如下化学反应方程式14243242524624KMnOMnSOHOMnOKSOHSOxxxxxx其中,,,xxx126均取正整数。【解】上述化学反应式中包含5种不同的原子（钾、锰、氧、硫、氢），于是在R5中为每一种反应物和生成物构成如下向量：:,:,:,:,:,:44222424100020110100KMnO4MnSO4HO1MnO2KSO4HSO4010011002002其中，每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目。为了配平化学方程式，系数,,,xxx126必须满足方程组123456100020110100441244010011002002xxxxxx求解该齐次线性方程组，得到通解,123456232R512xxxcxxxc由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取1c即得配平后的化学方程式：442224242KMnO3MnSO2HO5MnOKSO2HSO。【例2】（营养食谱问题）[C.Lay]一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C、钙和镁。其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出表1营养食谱问题营养单位食谱所含的营养（毫克）需要的营养总量（毫克）食物1食物2食物3维生素C102020100钙504010300镁301040200针对这个问题写出一个向量方程。说明方程中的变量表示什么，然后求解这个方程。【解】设,,123xxx分别表示这三种食物的量。对每一种食物考虑一个向量，其分量依次表示每单位食物中营养成分维生素C、钙和镁的含量：食物1：1105030，食物2：2204010，食物3：3201040，需求：100300200；则,,112233xxx分别表示三种食物提供的营养成分，所以，需要的向量方程为112233xxx解此方程组，得到,,505040123113333xxx，因此食谱中应该包含5011个单位的食物1，5033个单位的食物2，4033个单位的食物3。【例3】（电路网络）[C.Lay]简单电网中的电流可以利用线性方程组来描述。当电流经过电阻（如灯泡或发电机等）时，会产生“电压降”。根据欧姆定律，UIR其中U为电阻两端的“电压降”，I为流经电阻的电流强度，R为电阻值，单位分别为伏特、安培和欧姆。对于电路网络，任何一个闭合回路的电流服从希尔霍夫电压定律：沿某个方向环绕回路一周的所有电压降U的代数和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压的代数和。请利用上述两个定律，写出图中回路电流所满足的线性方程组，并求解。【解】在回路1中，电流1I流经三个电阻，其电压降为：40V30V20V10V4Ω5Ω7Ω1Ω4Ω6Ω3Ω2ΩI1I2I3I4ABCDE1111I7I4I12I回路2中的电流2I也流经回路1的一部分，即从A到B的分支，对应的电压降为24I；同样，回路3中的电流3I也流经回路1的一部分，即从B到C的分支，对应的电压降为37I。然而，回路1中的电流在AB段的方向与回路2中选定的方向相反，回路1中的电流在BC段的方向与回路3中选定的方向相反，因此回路1所有电压降的代数和为12312I4I7I。由于回路1中电源电压为40V，由希尔霍夫定律可得回路1的方程为12312I4I7I40。同理，回路2的电路方程为1244I13I5I10；回路3的电路方程为1347I15I6I30；回路4的电路方程为2345I6I14I20；于是，回路电流所满足的线性方程组为12312413423412I4I7I404I13I5I107I15I6I305I6I14I20解得.1I1143安培，.2I584安培，.3I1055安培，.4I804安培，其中的电流方向均如图所示。【例4】（经济系统的平衡）[C.Lay]假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成，每个行业的产出在各个行业中的分配见表1-1，每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。以第二列为例，能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业，10%分配到机械行业，余下的供本行业使用。因为考虑了所有的产出，所以每一列的小数加起来必须等于1。把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格（即货币价值）分别用123,,ppp表示。试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格。表1-2经济系统的平衡产出分配购买者五金化工能源机械0.20.80.4五金化工0.30.10.4能源0.50.10.2机械○i列昂惕夫的“交换模型”：假设一个国家的经济分为很多行业，例如制造业、通讯业、娱乐业和服务行业等。我们知道每个部门一年的总产出，并准确了解其产出如何在经济的其它部门之间分配或“交易”。把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格（price）.列昂惕夫证明了如下结论：存在赋给各部门总产出的平衡价格，使得每个部门的投入与产出都相等。【解】从表1-2可以看出，沿列表示每个行业的产出分配到何处，沿行表示每个行业所需的投入。例如，第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产出，由于三个行业的总产出价格分别是123,,ppp，因此五金化工行业必须分别向三个行业支付1230.2,0.8,0.4ppp元。五金化工行业的总支出为1230.20.80.4ppp。为了使五金化工行业的收入1p等于它的支出，因此希望11230.20.80.4pppp。采用类似的方法处理表1-2中第2、3行，同上式一起构成齐次线性方程组1123212331230.20.80.40.30.10.40.50.10.2pppppppppppp该方程组的通解为...1233141709171000pppp，此即经济系统的平衡价格向量，每个3p的非负取值都确定一个平衡价格的取值。例如，我们取3p为1.000亿元，则.11417p亿元，.20917p亿元。即如果五金化工行业产出价格为1.417亿元，则能源行业产出价格为0.917亿元，机械行业的产出价格为1.000亿元，那么每个行业的收入和支出相等。【例5】（交通网络）下图给出了某城市部分单行道的交通流量（每小时过车数）。假设（1）流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。确定该交通网络未知部分的具体流量。300300300600500100200600400400200500700ADBCEFHJGx1x2x3x4x5x6x7x9x10x8【解】首先写出表示流量的线性方程组，然后求出方程组的通解。图中各节点的流入量和流出量见下表：网络节点流入量流出量A24xxx1300B100400xx26Cx7200x3400D300500xx45Exx56200600F400600xx78G300600x9500Hx9200x10Jx10500400700整个系统2000xxx1381000根据假设（1）和（2），经过简单整理，可得到该网络流系统满足的线性方程组为xxxxxxxxxxxxxxxxxx124263745567891013830050020080080010004006001000交通流量模式（即方程组的通解）为,,xxxxx12438200500800，,,,,xxxxxxxx5464789108001000400600，,xx48是自由变量。【例6】（平板热传导问题）热传导研究中的一个重要问题是，已知金属薄片边界附近的温度，确定其稳态温度的分布。假设下图所示的金属薄片表示一根空心金属柱的横截面，并且忽略与盘片垂直方向上的热量传递。将薄片划分成一些正方形网格，位于四条边界上的点称为边界点，而其它的点叫做内点。测量表明，当加热或者冷却时，任一内点的温度约等于它相邻的四个网格点（内点或边界点）温度值的算术平均。我们希望边界点的温度（oC）如图所示，这是可能的吗？如果可能，试问内点的温度分布惟一确定吗？【解】将六个内点编号为①至⑥（见图），并设对应的温度分别为t1至t6。由于任一内点的温度约等于相邻的四个网格点（内点或边界点）温度值的算术平均，因此可以得到内点温度分布满足的线性方程组为tttttttttttttttttttt12412352361452456356430420460440430470此方程组系数矩阵的秩为6，增广矩阵的秩也为6，因此该方程组有唯一解，即内点的温度分布惟一确定。利用数学软件可以很快地求出该方程组的唯一解（近似值）为.,.,.,.,.,.tttttt123456186962347828696213042652231304。12345610104040303030202020