线性方程组的应用

线性代数是最有趣最有价值的大学数学课程----DavidC.Lay广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域。应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程。线性方程组的应用剑桥减肥食谱问题一种在20世纪80年代很流行的食谱，称为剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的。这是由AlanH.Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所希望的数量和比例的营养，Howard博士在食谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所需要的成分，然而没有按正确的比例。例如，脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多的碳水化合物…在这里我们把问题简化，看看这个问题小规模的情形。表1是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。31.170脂肪45743452碳水化合物33135136蛋白质乳清大豆面粉脱脂牛奶减肥所要求的每日营养量每100克食物所含营养（g）营养表1如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？1231232336511333,52347445,71.13.xxxxxxxx以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位，大豆面粉x2个单位，乳清x3个单位，则由所给条件得解上方程组得，解为1230.2772,0.3919,0.2332.xxx即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。MATLAB代码如下：Untitled2.mclear;A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1];b=[33;45;3];U=rref([A,b])网络流问题当科学家、工程师或者经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。一个网络包含一组称为接合点或节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显示或用变量标记。网络流的基本假设是全部流入网络的总流量等于全部流出网络的总流量，且全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描述。网络分析的问题就是确定当局部信息（如网络的输入）已知时，求每一分支的流量。电路问题在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫（Kirchhoff）定律来解决。以图3-2所示的电路网络部分为例来加以说明。设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律（简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流定律），有对于节点A：对于节点B：对于节点C：对于节点D：1460;iii2450;iii3650;iii1320.iii于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解1462453561230,0,0,0.iiiiiiiiiiii相应MATLAB代码为：dianliu.mclearA=[1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0];b=[0;0;0;0];[R,s]=rref([A,b]);r=length(s);disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r')123123456101110011100010001iiikkkiii其中:123,,kkkR由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的3个任意常数应满足以下条件：12310,.kkkk如果1231,3,2,kkk则：1234561,2,1,1,3,2.iiiiii解之，得其解为交通流问题图3-3给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。计算该网络的车流量。由网络流量假设，有对于节点A：对于节点B：对于节点C：对于节点D：对于节点E：213080;xx3524;xxxx6510040;xx464090;xx136020.xx于是，所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。12234556461350,0,60,50,40,xxxxxxxxxxxx求解该问题的相应MATLAB代码：wangluo.mclearA=[-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,-1,1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,0,1,0,-1;1,0,-1,0,0,0];b=[50;0;-60;50;-40];[R,s]=rref([A,b]);[m,n]=size(A);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);disp('非齐次线性方程组的特解为：')x0disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r')解这个方程组，得123124561040101010001500160010xxxkkxxx其中：12,kkR马尔科夫链马尔科夫链在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型。在每种情形中，该模型习惯上用来描述用同一种方法进行多次的实验或测量，实验中每次测试的结果属于几个指定的可能结果之一，每次测试结果依赖于最近的前一次测试。例如，若每年要统计一个城市及其郊区的人口，像这样的向量可以显示60%的人口住在这个城市中，40%的人口住在郊区。中的分量加起来等于1，是说明这个地区的总人口。00.600.40x0x1,0,1,2,kkxPxk当向量在中的一个马尔科夫链描述一个系统或实验时，中的数值分别列出系统在n个可能状态中的概率，或实验结果是n个可能结果之一的概率。称为状态向量。nRkxkx马尔科夫链可用一阶差分方程来刻画：定义1一个具有非负分量且各分量的数值相加等于1的向量称为概率向量；各列向量均为概率向量的方阵称为随机矩阵；一个概率向量序列和一个随机矩阵P，使得102132,,,xPxxPxxPx012,,,xxx称为马尔科夫链。下面我们先看一个数值的例子例令考虑系统：它的状态由马尔科夫链描述，随着时间的流逝，这个系统将有什么结果？00.50.20.310.30.80.3,0,0.200.40Px1(0,1,2,)kkxPxk解后面向量中的数值保留4位或5位有效数字。100.50.20.310.50.30.80.300.3,0.200.400.2xPx23456780.370.3290.31330.30640.45,0.525,0.5625,0.5813,0.180.1460.12420.11230.30320.30160.30080.5906,0.5953,0.59770.10620.10310.xxxxxxx,1016继续可得这些向量似乎是逼近的。注意到下面0.30.60.1q0.50.20.30.30.30.30.80.30.60.6.0.200.40.10.1Pqq若系统处于状态q，则从上一次测量到下一次测量，系统没有发生变化。定义2若P是随机矩阵，则满足的概率向量q称为随机矩阵P的稳态向量。若随机矩阵P的幂仅包含正的数值，称P是一个正则随机矩阵。在上例中，向量q是随机矩阵P的稳态向量。又PqqkP20.370.260.330.450.700.45,0.180.040.22P关于马尔科夫链我们有下面的定理定理若P是一个正则随机矩阵，则P具有惟一的稳态向量q。进一步，若x0是任一个起始状态，且，则当时，马尔科夫链收敛到q。这个定理的证明在有关马尔科夫链的教科书可找到，这里不做证明。这个定理的奇妙之处在于初始状nn1,0,1,2,kkxPxkk{}kx由于P2中每个数是严格正的，故P是一个正则随机矩阵。状态对马尔科夫链的长期行为没有影响。下面举一例说明求解随机矩阵的稳态向量的一种方法。例设，求P的稳态向量。0.60.30.40.7P解由定义知，稳态向量是方程的解，所以求稳态向量就是要解这个方程。()0PEx120.40.300.40.3xx即最后，在的全体解的集合中求一个概率向量，这是简单的，在通解中，令，得3/74/7q则q即为所求。1/7c容易求得其通解为3.4xcPxx对应的MATLAB代码为：weitai.mP=[0.6,0.3;0.4,0.7];E=[1,0;0,1];[R,s]=rref(P-E);r=length(s);x=null(P-E,'r')联合收入问题已知三家公司X,Y,Z具有图2-1所示的股份关系，即X公司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另两家公司控制等等。现设X，Y和Z公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入、试确定各公司的联合收入及实际收入。解依照图2-1所示各个公司的股份比例可知，若设X、Y、Z三公司的联合收入分别为x,y,z,则其实际收入分别为0.7x，0.2y，0.3z。故而现在应先求出各个公司的联合收入。因为联合收入由两部分组成，即营业净收入及从其他公司的提成收入，故对每个公司可列出一个方程，对X公司为x=120000+0.7y+0.5z对Y公司为y=100000+0.2z对Z公司为z=80000+0.3x+0.1y故得线性方程组0.70.5120000,0.2100000,0.30.180000.xyzyzxyz因系数行列式10.70.5010.20.78800.30.11A故此方程组有唯一解。MATLAB代码为：symsxyzeq1=sym('x-0.7*y-0.5*z=120000');eq2=sym('y-0.2*z=100000');eq3=sym(