线性方程组解的几何意义

设有三元非齐次线性方程组线性方程组解的几何意义,,,)1(22221111mmmmdzcybxadzcybxadzcybxa我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义.2)有唯一解这时方程组(1)中的m个方,423,32,123zyxyxzx该方程组有唯一解.817,21,47则方程组(1)的解有以下三种情况:1)无解这时方程组(1)中的m个方程所表示的平面既不交于一点,也不共线、共面.程所表示的平面交于一点.例如其几何意义如图3-11所示.2x-y=-33x+2z=-1x-3y+2z=4图3-11交直线所确定.3)有无穷多组解这时又可分为两种情形:情形一自由变量,基础解系中有两个向量，其一般解的形式为=c11+c22+0(c1,c2为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面,而这个平面是由过点0且分别以1、2为方向向量的两条相A的秩=A的秩=1.此时，有两个=c11+c22+0称为平面的参数方程.例如,设保留方程组为x+y+z=3,则可求得其通解为.11110101121ccx则过点P(1,1,1)分别以(1,-1,0)T,(1,0,-1)T为方向,110111:,011111:21zyxLzyxL则这两条相交直线L1,L2所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为为x+y+z=3.如图3-12图3-12向量的直线上.,694,13283,542,432zyxzyxzyxzyx情形二这时方程组(1)的一般解为=c+0(c为任意常数).此时方程组(1)的所有解在过点0且以为方向例如A的秩=A的秩=2.=c+0为直线的参数方程的向量形式.则其一般解为.021112cx过点(-1,2,0)以向量(-2,1,1)T为方向向量作直线.11221zyx:L则由方程组所确定的四个平面必交于直线L.如图3-132x+3y+z=43x+8y-2z=13x-2y+4z=-54x-y+9z=-6图3–1311221zyx:L