高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习

1空间向量知识点归纳总结知识要点。1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.空间向量的运算。3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba//。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的条件是存在实数,xy使pxayb。5.空间向量基本定理：如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc。若三向量,,abc不共面，我们把{,,}abc叫做空间的一个基底，,,abc叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,OABC是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,xyz，使OPxOAyOBzOC。6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：（2）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，112233(,,)abababab，123(,,)()aaaaR，112233abababab，112233//,,()ababababR，1122330abababab。②若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（4）模长公式：若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，2则222123||aaaaaa，222123||bbbbbb（5）夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb。（6）两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()ABdxxyyzz7.空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,ab，在空间任取一点O，作,OAaOBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,ab；且规定0,ab，显然有,,abba；若,2ab，则称a与b互相垂直，记作：ab。（2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a。（3）向量的数量积：已知向量,ab，则||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即ab||||cos,abab。（4）空间向量数量积的性质：①||cos,aeaae。②0abab。③2||aaa。（5）空间向量数量积运算律：①()()()ababab。②abba（交换律）。③()abcabac（分配律）。8．空间的角：（1）两异面直线所成的角：设ba、是两条异面直线，过空间任一点O做直线a∥a，b∥b，则ba、所成的锐角或者直角叫做异面直线ba、所成的角，它的取值范围是；向量求法：设直线ba、所成的角为，它们的方向向量a、b的夹角为，则有coscos；（2）线面角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角，它的取值范围是；向量求法：设直线l的方向向量为u，平面的法向量为v，直线与平面所成的角为，向量u、v的夹角为，则有cossin；（3）二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做一个半平面，从一条直线出发的两个3半平面所组成的图形叫做二面角，它的取值范围是；向量求法：①若CDAB、分别是二面角l的两个半平面内与l垂直的直线（BA、在直线l上），则二面角的大小就是向量AB与向量CD所成角的大小；设二面角为，则CDAB,②设向量u、v分别是二面角l的两个半平面的法向量，则向量u、v的夹角（或其补角）就是二面角的大小，设二面角为，则视实际图形而定，vu,或vu,；4．空间的距离：空间的点点距、点线距、推荐用传统方法，点面距既可以用传统方法，也可以用平面的法向量来求。向量法求点面距：点P到平面的距离为nnAPd，其中A为内异于垂足的任一点，n是的法向量。空间向量与立体几何测试题（一）一、选择题：1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc,x,y,zR．其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.32．若三点，，ABC共线，P为空间任意一点，且PAPBPC，则的值为（）Ａ．1Ｂ．1Ｃ．12Ｄ．23．设(43)(32)ab，，，，，xz，且∥ab，则xz等于（）Ａ．4Ｂ．9Ｃ．9Ｄ．6494．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（）A.627B.637C.647D.6575．若a、b均为非零向量，则||||abab是a与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.已知点O是△ABC所在平面内一点，满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点47．已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不对8．已知(1,2,3)OA，(2,1,2)OB，(1,1,2)OP，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，点Q的坐标为（）A．131(,,)243B．123(,,)234C．448(,,)333D．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）9．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为10．已知，，ABC三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量1253OPOAOBOC确定的点P与ABC，，共面，那么．11.已知a,b,c是空间两两垂直且长等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为.12．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以｛AB，AC，AD｝为基底，则GE＝．三、解答题（本大题共3小题,满分35分），14．(10分)如图,二面角α-ι-β的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=68，求二面角α-ι-β的大小.15．（12分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，DCPD，E是PC的中点，作PBEF交PB于点F.（1）证明∥PA平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角D-PB-C的大小．EMGDCBAAιβαADCB516(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.(1)求棱AA1与BC所成角的大小；(2)在棱B1C1上确定一点P,使AP=14，并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值.空间向量与立体几何测试题（二）一、选择题：1．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的A．OCOBOAOMB．OCOBOAOM2C．OCOBOAOM3121D．OCOBOAOM3131312．在空间直角坐标系中，已知点(,,)Pxyz，那么下列说法正确．．的是（）A．点p关于x轴对称的坐标是1,,pxyzB.点p关于yoz平面对称的坐标是2,,pxyzC.点p关于y轴对称点的坐标是3,,pxyzD.点p关于原点对称点的坐标是4,,pxyz3．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是（）A.1B.51C.53D.574．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则AB+1()2BDBC等于（）A.AGB.CGC.BCD.21BC5．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）ABCC1B1A16FED1C1B1A1DCBAzyxSBCDAA．52B．52C．53D．10106．已知向量(0,2,1)a，(1,1,2)b，则a与b的夹角为（）A.0°B.45°C.90°D.180°二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11、若(1,1,0),(1,0,2),abab则同方向的单位向量是_________________.12．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝xAByACzAS，则x＋y＋z＝．13、已知2,4,,2,,26axbyaab，若且，则xy的值为。14、已知向量a和c不共线，向量b≠0，且()()abcbca，d＝a＋c，则,db＝．15．已知三角形的顶点是(1,1,1)A，(2,1,1)B，(1,1,2)C，这个三角形的面积是。三、解答题（用向量方法求解下列各题,共70分）17、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．（1）证明：AEC1F是平行四边形；（2）求AE和AF之间的夹角的余弦；（3）求四边形AEC1F的面积．18．如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12．（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．7EzyxC1B1A1DGCBA19、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.20．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（1）求A1B与平面ABD所成角的大小．（2）求A1到平面ABD的距离．DPBACE