《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)

数学史讲义印度与阿拉伯数学印度与阿拉伯数学4.1印度数学1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．印度地图印度地图古代印度数学•印度数学繁荣于公元6世纪到12世纪之间，主要历史成就：•（1）包括“零”在内的数码和十进位制记数法。•（2）运用正弦的三角计算。•（3）算术与代数印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪一12世纪)．4.1.1古代《绳法经》印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上．《吠陀》（梵文，意为知识、光明）是印度雅利安人的作品，成书于公元前15－前5世纪，历时1000年左右，婆罗门教的经典，其中的《绳法经》（前8－前2世纪）是《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分。释迦牟尼（公元前565－公元前486年）传扬佛教时期，佛教是古印度的迦毗罗卫国（今尼泊尔境内）王子乔达摩·悉达多所创，因父为释迦族，得道后被尊称为释迦牟尼也就是“释迦族的圣人”的意思，门徒称他为佛），包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理、圆周率的近似值等。吠陀时期（公元前10－前3世纪）《吠陀》手稿（毛里求斯，1980）印度雅利安人的作品，《绳法经》出现在吠陀时代，包含毕达哥拉斯定理等数学知识这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》(Sulvasūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2的近似值。耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成。其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等。4.1.2“巴克沙利手稿”关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”．其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号:（1）减号：“12-7”记成“127+”．（2）零号：用点表示0，后来逐渐演变为圆圈。巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码：有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的数“0”．瓜廖尔数系为：古代印度数学•印度－数码阿拉伯数码•阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人创造的.关于0的发明•印度,0较早出现在巴克沙利手稿中，这是印度数学的一大发明.•最早的零用来表示记数法中的空位，而没有看作是一个独立的数.印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号.•后来，印度人又把零作为一个独立的数。•摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都不变.”关于0的发明•婆什迦罗在《算法本源》指出：“被除数为3、除数为0，得商，这个分母为0的分数，称为无限大量。”•婆罗摩笈多在《婆罗摩笈多修正体系》中比较完整地叙述了零的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零.”用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算．印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍．印度数码和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色．4.1.3“悉檀多时期的印度数学”悉檀多(梵文siddhanta，原为佛教因明术语，可意译为“宗”，或“体系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多(AryabhataⅠ，476一约550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta，598—665)、马哈维拉(Mahavira，9世纪)和婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114一约1185)等．（一）阿耶波多阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应(见图)，成为今天的习惯，同时他以半径的作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始．他还给出了第一象限内间隔为3º45’的正弦差值表．34381阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法．印度科学史上有重要影响的人物，是最早的印度数学家，499年天文学著作《阿耶波多历数书》（圣使天文书）传世（相当于祖冲之《缀术》的年代），最突出之处在于对希腊三角学的改进,制作正弦表（sine一词由阿耶波多称为半弦的jiva演化而来），和一次不定方程的解法。阿耶波多获得了π的近似值3.1416（与刘徽所得的近似值相当），建立了丢番图方程求解的“库塔卡”（原意为“粉碎”）法。阿耶波多（公元476－约550年）最早的印度数学家：阿耶波多（476－约550年）499年《阿耶波多历书》(圣使天文书)“阿耶波多号”人造卫星（印度，1975）π的近似值3.1416婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵．(二)婆罗摩笈多在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作，在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。628年发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即现在所谓的佩尔（英，1611－1685年）方程的一种解法。他还著有《肯德卡迪亚格》（约665年）婆罗摩笈多（598－约665年）乌贾因天文台婆罗摩笈多（598－约665年）628年《婆罗摩修正体系》(宇宙的开端)●比较完整地叙述了零的运算法则●利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表●获得了边长为的四边形的面积公式（有误）：dcba,,,))()()((dpcpbpapS]2/]([dcbap实际上这一公式只适用于圆内接四边形，婆罗摩笈多未意识到这一点，后来马哈维拉，由这一公式出发将三角形视为有一边为零的四边形，得到了海伦公式。(三)马哈维拉7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣．如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生了改变．耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》(TheGanita-Sāra-Sangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1)算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算，(4)各种计算问题，(5)三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程计算，(9)测影计算．●给出了一般性的组合数公式knC●给出椭圆周长近似公式：.162422abC马哈维拉•马哈维拉是印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在拉喜特拉库塔王朝(R11strak&ta)的宫廷里生活过很长一段时间．约公元850年，他撰写了《计算方法纲要》(Ganitas1rasagraha)一书。该书在印度南部曾被广泛使用，11世纪被译成泰卢固语。20世纪初，它被重新发现．1912年，在马德拉斯译为英文出版．《计算精华》是印度第一本初具现代形式的数学教科书，现今数学教材中的一些论题和结构在其中已可见到。(四)婆什迦罗婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作．他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》(Līlāvatī)和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系统之冠》．印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什迦罗，出生于印度南方的比德尔，成年后来到乌贾因天文台工作，成为婆多摩笈多的继承者，后来还做了这家天文台的台长。古印度数学最高成就《天文系统之冠》（1150年，中国的南宋时期）和《天球》，还有两部婆什迦罗的重要数学著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。婆什迦罗（1114－1188年）“婆什迦罗号”人造卫星（印度第二颗卫星）（1979）婆什迦罗（1114－1188年）印度数学最高成就《天文系统极致》《莉拉沃蒂》《莉拉沃蒂》共有13章：第1章给出算学中的名词术语；第2章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第3章论各种计算法则和技巧；第4章关于利率等方面的应用题；第5章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第6章关于平面图形的度量计算；第7至10章关于立体几何的度量计算；《莉拉沃蒂》第11章为测量问题；第12章是代数问题，包括不定方程；第13章是一些组合问题．●能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式●能够认识并广泛使用无理数《莉拉沃蒂》婆什迦罗《天文系统之冠》•著于1150年，分“应用问题”、“代数”、“天球”和“行星数学”四篇。书中，他全面系统地介绍了算术、代数和几何知识，反映了印度12世纪的记数法，记载了有关自然数、分数和负数的8种基本运算，收集了有关利息、商品交换、合金成分、土方、仓库容积、水利建设等各种与社会、经济活动有关的数学问题，给出了有关代数、几何、三角方面的一些成果。关于印度的几何•婆罗摩笈多曾给出了一个求四边形面积的公式：•婆罗摩笈多定理：设圆内接四边形的各边依次是，其对角线为•则dcbasdscsbsasS21其中nm,dcba,,,bcadbdaccdabm2cdabbcadbdacn2bdacmn关于印度的三角•把圆分成360度或21600分，改进托勒密把直径分为120等分，而且把半径120等分。用单位弧长度量半径，即，得•把半弦与全弦所对弧的一半相对应。216002rCAOB34381416.3221600221600r由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文学和数学受外来文化影响较深，但印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。现代初等算术运算方法的发展，起始于印度，可能在大约10、11世纪，它被阿拉伯人采用，后来传到欧洲，在那里，它们被改造成现在的形式。这些工作受到15世纪欧洲算术家们的充分注意。与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。此外，印度人用诗的语言来表达数学，他们的著作含糊而神秘（虽然发明了零号），且多半是经验的，很少给出推导和证明。总结