最新高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型

精品文档精品文档（一）函数的单调性知识梳理1．函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)是区间D上的增函数，D叫f(x)单调递增区间．当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间．2．函数单调性的判断方法：（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。（2）一般地，设函数)(xfy的定义域为I．如果对于属于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值1x，2x，且21xx，则021xx（1）则0-21xfxf1212120fxfxxxxx)(xf即在区间A上是增函数；（2）则21xfxf1212120fxfxxxxx)(xf即在区间A上是减函数．如果函数)(xfy在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(xfy的单调区间．单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数（3）复合函数单调性判断方法：设,,,,,yfuugxxabumn若内外两函数的单调性相同，则yfgx在x的区间D内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则yfgx在x的区间D内单调递减．（同增异减）3．常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数；若f(x)0（或0）且为增函数，则函数)(1xf在其定义域内为减函数．精品文档精品文档【题型一、单调性的判断】例、写出下列函数的单调区间（1）,bkxy（2）xky，（3）cbxaxy2．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【题型二、用定义法证明单调性】例、定义法证明函数y=2x+3在),(的单调性.精品文档精品文档例、判断函数f（x）＝xx1在（0,1）上的单调性．【变式训练1】证明函数12)(xxxf在),1(上是增函数．【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。【题型三、单调性的运用】例、已知2()(34)21fxkkxk在R上是增函数,则k的取值范围．精品文档精品文档例、函数2)1(2)(2xaxxf在(,4]上是减函数,则求a的取值范围．【变式训练2】已知函数2()22,5,5fxxaxx上是单调函数，a的取值范围是．【变式训练3】函数f（x）是R上的减函数,求f（a2－a＋1）与f（34）的大小关系．【题型四、抽象函数的单调性及其应用】例、已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是．精品文档精品文档例、设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）求证：（1）f（1）＝0；（2）f（1x）＝－f（x）；（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数．【题型五、复合函数的单调性】例、求函数32)(2xxxf的单调递减区间。求f(x)=542xx的单调区间精品文档精品文档课后作业：一、选择题1、函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是()A．(－∞，0]，(－∞，1]B．(－∞，0]，[1，＋∞)C．[0，＋∞)，(－∞，1]D．[0，＋∞)，[1，＋∞)2、当1||x时，函数12aaxy的值有正也有负，则实数a的取值范围是（）A．31aB．1aC．311-aD．311-a3、若函数)(xf在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数)(xf在区间（a，c）上（）A.必是增函数B.必是减函数C.是增函数或是减函数D.无法确定增减性二、填空题4、函数32)(2mxxxf,当),2[x时,是增函数,当]2,(时是减函数,则f(1)=_____________5、已知)(xf在定义域内是减函数，且0)(xf，在其定义域内判断下列函数的单调性：①axfy)((a为常数)是___________；②)(xfay(a为常数)是___________；③)(1xfy是____________；④|)(|2xfy是__________．6、函数f(x)=ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__．7、若函数f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x1，则f(x)的递减区间是________．三、解答题8、讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性。9、设f(x)是定义在(0,+∞）上的增函数，f(2)=1，且f(xy)=f(x)+f(y)，求满足不等式f(x)+f(x-3)≤2的x的取值范围.精品文档精品文档（二）函数的奇偶性知识梳理1、函数奇偶性定义：1、一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为奇函数.奇函数图象关于原点对称.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0或f(x)=-f(-x)，则f(x)是奇函数．（2）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称．（3）利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数．3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．4、（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。若x是定义域中的一个数值，则x也必然在定义域中，因此，函数()yfx是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具奇偶性。（2）若奇函数()fx在0x处有定义，则(0)0f。（3）1()()()Fxfxfx为偶函数，2()()()Fxfxfx为奇函数。（4）函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域内某个区间而言的，是局部性质。精品文档精品文档【题型一、有关函数奇偶性的判断或证明的问题】例、判断下列函数的奇偶性。①xxxxf11)1()(,②29)(xxf,③22(0)()(0)xxxfxxxx④2211)(xxxf⑤21()|2|2xfxx【方法技巧】判断函数的奇偶性，第一步是要先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，就是非奇非偶函数，如果对称，接下去再去找f(x)与f(-x)之间的关系，牢记好，在定义域内f(x)=f(-x)则为偶函数，f(-x)=-f(x)则为奇函数。【变式训练4】函数1()(0)fxxxx是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【变式训练5】若函数2yxbxc是偶函数，则有()A.,bRcRB.,0bRcC.0,0bcD.0,bcR精品文档精品文档【变式训练6】设函数3()21fxaxbx，且(1)3,f则(1)f等于（）A.-3B.3C.-5D.5【题型二、应用函数奇偶性求值、求解析式】例、（1）已知偶函数()fx的定义域是),0()0,(，当0x时1)(3xxf，求()fx的解析式.（2）已知奇函数()gx的定义域是R，当0x时xxxg2)(2，求()gx的解析式.【变式训练7】已知()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，32)(2xxxf，求()fx的解析式。精品文档精品文档【题型三、抽象函数的奇偶性的判断】例、设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【变式训练8】设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF，在R上一定是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.【题型四、有关函数奇偶性的综合问题】例、设奇函数()fx在(0,)上为增函数，且(1)0f，则不等式()()0fxfxx的解集为（）A、(,1)(1,)B、(,1)(0,1)C、(1,0)(1,)D、(1,0)(0,1)精品文档精品文档例、已知函数2()fxaxbxc是定义在aa1,2上的偶函数，则a，________b．例、设函数()fx对任意,xyR，都有()()()fxyfxfy，求证()fx是奇函数；【变式训练9】设f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常数)且(7)7f,则f（7）=．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．精品文档精品文档已知函数f(x)＝222,0,0,0,,0xxxxxmxx是奇函数．求实数m的值；(三)函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．例、设()fx是(,)上的奇函数，(2)()fxfx，当[0,1]x时，()fxx，求(7.5)f的值。例、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)f(11)f(80)B．f(80)f(11)f(－25)C．f(11)f(80)f(－25)D．f(－25)f(80)f(11)精品文档精品文档【变式训练】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．精品文档精品文档课后作业1．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于（）A．－7B．1C．17D．252．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（）A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一的实根3．已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f(2－x2)，那么函数g(x)（）A．在区间(－1，0)上是减函数B．在区间(0，1)上是减函数C．在区间(－2，0)上是增函数D．在区间(0，2)上是增函数4.若函数yfxxR()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数yfx()图象上的是（）A．(())afa，B．(())