高三解三角形复习课

第一章解三角形（复习课）BCAabc思考１：何谓解三角形？一般地，把三角形的三个角A，B，C，及其对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。BCAabc思考２：如何判断两个三角形全等？思考３：三角形中角之间关系如何？边之间关系如何？边角之间关系如何？ＡＡＳ，ＡＳＡ，ＳＡＳ，ＳＳＳ，ＨＬＳＳＡ？１.角之间关系２.边之间关系３.边角关系2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）2sin(sin)22sin(sin)22sin(sin)2aaRAARbbRBBRccRCCR::sin:sin:sinabcABC正弦定理及其变形：ABCabcB’2R1、已知两角和任意一边，求其他的两边及角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.正弦定理解决的题型：变形边化为角角化为边2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab余弦定理及其推论：推论111sinsinsin222ABCSabCbcAacB111222ABCabcSahbhchABCabcha1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.余弦定理解决的题型：角化为边如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．【思路点拨】已知三角形ACD三边的长，可用余弦定理求∠ADC，在△ABD中再用正弦定理求解．例２.603,10bCca，求边，若在△ABC中,类型一：利用正、余弦定理解三角形例1【解】在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.类型一：利用正、余弦定理解三角形点评：一般情况下，1.正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：（1）已知两角和任意一边；（2）已知两边和其中一边的对角。2.余弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知三边；（2）已知两边及夹角。在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【思路点拨】:灵活运用转化思想：利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．例３【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A∈(0，π)，故A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形例３、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．类型二：利用边角转化思想判定三角形形状【点评】：正、余弦定理具有将三角形的“边”与“角”互化的功效，判断三角形形状时，一般地，将边角关系“转化”为边之间关系或角之间关系，再判断．三角形形状主要是：正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．例4在中,若,ABCC－BAcos1=2+cos(1)求角.CABCS(2)若,且,求.bcBA2=tantan+14=c类型三：与面积有关的问题1．对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边角转化．【点评】：本章知识框架图正弦定理余弦定理解三角形应用举例感悟1.正、余弦定理和三角形面积公式是本章节课的重点，利用它们和三角形内角和、边、角之间的关系和三角函数的变形公式去求解三角形、判断三角形的形状、以及利用它们解决一些实际问题（如面积问题）．2.解三角形由正、余弦定理、三角面积公式进行边角互化，主要体现转化思想、方程思想、数形结合思想等灵活运用。(本题满分14分)(2010年高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．例【解】(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－14，所以sinC＝±104，3分又0Cπ，所以sinC＝104.5分(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4.8分由cos2C＝2cos2C－1＝－14，且0Cπ得cosC＝±64.10分由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0(B0)，12分解得b＝6或26，所以b＝6，c＝4，或b＝26，c＝4.14分2.在中，，则()ABC045=,2=,3=Bba=A3.在中，，则()ABC060=,3=,2=Bba=A4.已知三角形三边之比为3:5:7，则其最大角为()1.在中，，则()ABC0060=,45=,4=BAc=b)+(43=222cbaSABC－(1)求角C的大小；(2)求的最大值。6.(10年浙江文)在△ABC中,BAsin+sin)()3,2cossinsin,ABCabcabcabABCABC9.在中，已知（且试确定的形状5自我挑战大题规范类型三三角形与三角函数、向量的综合问题——突破向量运算与解三角形、三角恒等变换的转化3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；由BA→·BC→＝2得c·acosB＝2，又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×13＝13.解得ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为ac，所以a＝3，c＝2.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAa＝3cosCc.(1)求角C的大小；(2)如果a＋b＝6，CA·CB＝4，求c的值．(2)因为CA·CB＝|CA||CB|cosC＝12ab，又因为CA·CB＝4，所以ab＝8.因为a＋b＝6，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12.所以c的值为23.解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0.∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，sinB(2cosA－1)＝0，∵0Bπ，∴sinB≠0，cosA＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由余弦定理，得(2b－c)·b2＋c2－a22bc－a·a2＋b2－c22ab＝0.整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.(2)∵S△ABC＝12bcsinA＝334，即12bcsinπ3＝334，∴bc＝3.①∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝3，∴△ABC为等边三角形．[归纳领悟]依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．一、把脉考情从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测2012年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．