直线与平面的位置关系

按是否在同一平面内分同在一个平面内相交直线平行直线不同在任何一个平面内：异面直线有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系思考1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？2）如图，线段A’B所在直线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六个面所在平面有几种位置关系？CB'C'A'D'BAD直线与平面的位置关系直线和平面的位置关系有且只有三种(1)直线在平面内有无数个公共点a记为：a直线与平面的位置关系(2)直线与平面相交有且只有一个公共点a记为：a=AA直线与平面的位置关系（3）直线与平面平行没有公共点a记为：a//直线与平面的位置关系直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外记为：aaa//aa=AA或直线与平面的位置关系例1.下列命题中正确的个数是()1）若直线l上有无数个点不在平面内，则l//2)若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行4）若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.(A）0(B)1(C)2(D)3B直线与平面的位置关系（1）直线在平面内——有无数个公共点．（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点．（3）直线和平面平行——无公共点．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．小结直线与平面的位置关系如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.baαa//b思考直线与平面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．判定定理bb直线与平面平行若，，且abba////a，则用集合符号表示例1求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．已知：空间四边形中，分别是的中点.ABCDFE、ADAB、求证：平面．//EFBCD证明：连结．BDFDAFEBAEBCDBDBCDEFBDEF平面平面又//BCDEF平面//直线与平面平行直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”小结通过直线间的平行，推证直线与平面平行，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）.思想方法直线与平面平行如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系？思考1aα直线与平面平行平行或异面若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？aα思考2直线与平面平行无数条互相平行教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？思考3aα直线与平面平行直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．已知：，，//aab求证：．ba//证明：．b//abbababa//又直线与平面平行教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？问题解决灯管地面直线与平面平行例2在图中所示的一块木料中，棱BC平行于平面A’C’．（1）要经过平面内的一点P和棱BC将木料据开，应怎样画线？（2）所画的线和平面AC是什么位置关系？CAAA′CBDPD′B′C′直线与平面平行例3已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.cabα如图，已知直线a，b和平面α，a∥b，a∥α,a，b都在平面α外.求证：b∥α.直线与平面平行小结直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”思想方法线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法，也提供了作平行线的一种方法.直线与平面平行旗杆与地面的位置关系观察直线与平面垂直线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系直线与平面垂直思考1旗杆与地面中的直线的位置关系如何？直线与平面垂直将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？思考2思考3一条直线与一平面垂直的特征是什么？特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．BACBC直线与平面垂直如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直.定义lP平面的垂线直线l的垂面垂足平面内任意一条直线l记为直线与平面垂直如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？思考4lα直线与平面垂直如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．ABCDABCD探究直线与平面垂直ABCDABCD当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直．直线与平面垂直（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面，你同意他的说法吗？ABCDABCD（2）如图，由折痕，翻折之后垂直关系不变，，．由此你能得到什么结论？BCADCDADBDAD思考5直线与平面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．balAalblabAbal作用：判定直线与平面垂直．直线与平面垂直直线与直线垂直思想：直线与平面垂直例4.如图，已知，求证aba,//.bbamn根据直线与平面垂直的定义知.,nama又因为ab//所以.,nbmb又nmnm,,,是两条相交直线，所以.b证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，a直线与平面垂直例5已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′直线与平面垂直ABCDAC平面ABDCA′B′C′D′'DDAC直线与平面垂直例3在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.PABCD直线与平面垂直如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD答：底面四边形ABCD对角线相互垂直．探究直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”小结通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）.思想方法直线与平面垂直前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？问题提出直线与平面所成的角直线与平面所成的角第2课时直线与平面所成的角αP斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线直线与平面所成的角1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角)90,0(02.平面的垂线与平面所成的角为直角3.一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角一条直线与平面所成的角的取值范围是]90,0[0直线与平面所成的角例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO例2如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知∠ABC=60°，OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαD直线与平面所成的角如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内的一条直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？DαCAB∠BAD∠BACE解：作BOAD于O，BEAC于E，则BDBEsinBADsinBAC思考1o直线与平面所成的角两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？思考2直线与平面所成的角1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？思考3直线与平面所成的角小结1.直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量.线面垂直和线面平行是特殊情况.2.斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角.3.求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影.直线与平面所成的角