高中立体几何大量习题集与答案解析

ABCDEFGHIJ立体几何一、选择题1.给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线12,ll与同一平面所成的角相等，则12,ll互相平行；④若直线12,ll是异面直线，则与12,ll都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（）A．1B．2C．3D．42.将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是（）A．22B．21C．43D．433.一个长方体一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体对角线的长为（）A．23B．32C．6D．64.如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．0°5.两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个6.正方体A′B′C′D′—ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（b＜a＝，Q点在D′C′上滑动，则四面体A′—EFQ的体积（）A．与E、F位置有关B．与Q位置有关C．与E、F、Q位置都有关D．与E、F、Q位置均无关，是定值7.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P到这三个平面的距离分别是（）A．1，2，3B．2，4，6C．1，4，6D．3，6，98.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1S2B．S1S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定9.条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a与b的关系是（）DBAOCEFA．b=（2－1）aB．b=（2+1）aC．b=222aD．b=222a11.已知向量a=(2，4，x)，b=(2，y，2)，若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是()12.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A.12πB.18πC.36πD.6π13.已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是()A．34000cm3B．38000cm3C．32000cmD．34000cm14.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A.1200B.1500C.1800D.240015.在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()2020正视图20侧视图101020俯视图BADCABCDA1B1C1D1PQRNM16.正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R–PQMN的体积是()A．6B．10C．12D．不确定17.已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是()A.1B.13C.23D.3318.如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是()A．①③B．②③④C．③④D．②④19.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于()A.S2SB.S2SC.S4SD.S4S20.已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥AB，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB=2，CD=1，则异面直线AB与CD所成角的大小为()A．300B．450C．600D．75021.已知向量(1,1,0)a，(1,0,2)b，且kab与2ab互相垂直，则k值是()①②③④ABCDEFGA．1B．51C．53D．5722.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A.4个B.2个C.3个D.1个23.三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是()A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形24.在正四面体P—ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A.BC//平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC25.一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（）A.1：3B.1：2C.1：3D.1：3—126.正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（）A.32B.36C.34D.3327.一个三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，6,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（）A.16πB.32πC.36πD.64π28.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q是对角线A1C上的点，PQ=a2,则三棱锥P—BDQ的体积为（）A.318a3B.324a3C.336a3D.不确定ABCDA1B1C1D1A129.若三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P到平面ABC的距离为（）A.66B.63C.36D.3330.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A.3+263B.2+263C.4+263D.43+26331.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A.12B.22C.33D.6332.正方体ABCD—A1B1C1D1中，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，设得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则()A.S为定值，l不为定值B.S不为定值，l为定值C.S与l均为定值D.S与l均不为定值二、填空题33.若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则cos=______．34.多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：（）①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）35.如图，已知正三棱柱111ABCABC的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A点的最短路线的长为.36.如图,表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_____对37.如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为.主视图俯视图左视图A1BCC1D1A1BC1A1ABC138.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_______．39.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是_________．40.已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，PA⊥，垂足为A，PB⊥，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到l的距离为___________．41.若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则三角形的面积S=12r(a+b+c),根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V=______________．42.四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影为△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体_（填上所有正确命题的序号）．ACBC1B1A1P三、解答题43.在长方体1111DCBAABCD中，已知3,41DDDCDA，求异面直线BA1与CB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.44.如图，1l、2l是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在1l上，C在2l上，AMMBMN.（1）证明AC⊥NB；（2）若60OACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值.45.如图，在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，p是侧棱1CC上的一点，mCP.（1）若直线AP与平面11BBDD所成角的正切值为23，求m；（2）在线段11CA上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，QD1在平面1APD上的射影垂直于AP.并证明你的结论.46.正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点，求证：PB⊥平面MNB1。PEDCBA47.如图,在长方体ABCD─A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.（1）求证:MN∥面ADD1A1;（2）求三棱锥P─DEN的体积.48.在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=21DC，中点为PDE.(1)求证：AE∥平面PBC；(2)求证：AE⊥平面PDC.49.设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，1)的夹角都等于.(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求a，b的大小(其中0＜a，b＜π).50.如图，棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点.(1)证明：PB⊥MB1；(2)在线段A1D1上求一点Q,使得QD∥平面B1MN；(3)画出这个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离.4MABCDA1B1C1D1NP51.矩形ABCD中，AB=3，BC=4(如图)，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求三棱锥A-BCD的体积．52.如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=90，PA=1，AB=3，AC=2，PA⊥面ABC．(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；53.已知三点)0,0,1(A，)1,1,3(B，)1,0,2(C，(1)求CB与CA的夹角；ABCDABCDEABCP(2)求CB在CA方向上的投影.54.有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．(1)请你求