找规律及定义新运算.讲义学生版

内容基本要求略高要求较高要求找规律学会基本的找规律方法能做常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系能做综合试题定义新运算熟悉基本题型能根据题意进行运算板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】⑴点1A、2A、3A、…、nA（n为正整数）都在数轴上．点1A在原点O的左边，且11AO；点2A在点1A的右边，且212AA；点3A在点2A的左边，且323AA；点4A在点3A的右边，且434AA；……，依照上述规律，点2008A、2009A所表示的数分别为（）．A．2008、2009B．2008、2009C．1004、1005D．1004、1004⑵如图，点A、B对应的数是a、b，点A在3、2对应的两点（包括这两点）之间移动，点B在1、0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（）．0b-1-2a-3A．baB．1baC．11abD．2()ab【巩固】⑴（2008北京中考）一组按规律排列的式子：2ba，52ba，83ba，114ba，…(0ab)，其中第7个式子是，第n个式子是(n为正整数)．⑵（2008年陕西中考）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管.①②③中考要求找规律及定义新运算DCBA【例2】⑴（2010年北京中考）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母ABCD，，，。请你按图中箭头所指方向(即...ABCDCBABC的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(用含n的代数式表示)。⑵（2010河北中考）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A．6B．5C．3D．2⑶（2010济南中考）观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算181624...8n（n是正整数）的结果为（）A．2(21)nB．2(21)nC．2(2)nD．2n【巩固】⑴观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有个．图3图2图1⑵（2010日照中考）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的13610...，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）图1图2向右翻滚90°逆时针旋转90°1+8=?1+8+16=?⑵1+8+16+24=?……A．15B．25C．55D．1225⑶（2010山东青岛）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．⑷（2010安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（）A．495B．497C．501D．503【巩固】观察按下列规则排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…在式子中，从左起第m个数记为()Fm，当2()2001Fm时，求m的值和这m个数的积.【例3】观察下面的变形规律：…111111111...12223233434，，解答下面的问题：⑴若n为正整数，请你猜想11nn；⑵证明你猜想的结论；⑶求和：1111...12233420092010.【巩固】阅读下列材料：1121230123，1232341233，1343452343，由以上三个等式相加，可得1122334345203。读完以上材料，请你计算下列各题：⑴122334...1011（写出过程）；⑵122334...1nn_________；⑶123234345...789_________。【巩固】已知：23435632543654331015...121231234CCC，，，观察上面的计算过程，寻找规律并计算610C．【例4】现有一列数1a，2a，3a，…，98a，99a，100a，其中3798971aaa，，，且满足任意相邻三个数的和为常数，则12399100aaaaa的值为()．A．0B．40C．32D．26【巩固】如果一个序列{}ia满足12a，12nnaan(n为自然数)，求100a的值.【例5】右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前n横行的数字和为．11111111111010556443321【巩固】观察下列等式：32332333233332111231236123410...，，，，，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，并用等式表示出规律；再利用这一规律计算333331234...100的值．【例6】在数轴上，点A和点B都在与154对应的点上，若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A和点B所处的位置对应的数是什么？这时线段AB的长度是多少？【例7】如图所示，数轴被折成90，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2009将与圆周上的数字重合．98765431023北西南东O北西南东A-103210-5-4-3-2-10【巩固】把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为3个单位长度，第3段为5个单位长度，…，有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，，圆周为4个单位长度，圆所示位置为数轴原点，现开始紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与2009接触时，指针指向（东、南、西、北）．【巩固】把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，……，点O处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A接触时，指针指向（东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向（东、南、西、北）．【巩固】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2006将与圆周上的数字重合．【巩固】如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．⑴圆周上的数字a与数轴上的数5对应，则a；⑵数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是（用含n的代数式表示）3210210012123401223543210【巩固】如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（）BA3A2A1AODCBA76543210-1BOA【巩固】如图，用数轴绕圆O三圈，圆周上的点B与数轴上表示6.9、0.9、5.1的点重合，数轴上与点A重合的点所对应的数最接近是（）A．2.3B．1.9C．2.7D．6.2【例8】研究下面的一列数：1，3，5，7，9，11，13，…，照此规律，请你用表达式表示出第n个数.【例9】右图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于1A，2A，3A，…．若从O点到1A点的回形线为第1圈(长为7)，从1A点到2A点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为．【例10】如果1111nnaa(1n，2，3，…，2009)，那么，当11a时，1223aaaaa20082009aa的值是多少？【例11】一根拉直的绳子从中剪一刀被分成2段，要把一根拉直的绳子分成1n段，需n刀，这就是说线段上n个点将线段分成1n段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了3段；将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成5段，试问：（1）将一根绳子对折4次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（2）将一根绳子对折2003次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成2003段，如果能，求出对折的次数，如果不能，请说明理由．【巩固】有依次排列的3个数：3，9，8，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，10，1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？【例12】在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，0，1．然后取各边中点，并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值．连续这样做到第10个正方形，则图上写出的所有数的和是．【例13】有1A、2A、3A三个舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形变化，其变化规律是：一个舞蹈演员1A跳舞，面对观众作队形变化的种数是1A为1种．二个舞蹈演员1A、2A跳舞，面对观众作队形变化的种数是12AA、21AA为2种即12种．三个舞蹈演员1A、2A、3A跳舞，面对观众作队形变化的种数是123AAA、132AAA、213AAA、231AAA、312AAA、321AAA为6种即123种．请你猜测：⑴四个舞蹈演员1A、2A、3A、4A跳舞，面对观众作队形变化的种数是种．⑵六个舞蹈演员1A、2A、3A、…、6A跳舞，面对观众作队形变化的种数是种．（用科学记数法表示）⑶用1、2、3、4、5、6、7共7个数字排列成7位数的电话号码．（在同一个电话号码内每个数字只能用一次）可能排成个电话号码．模块二、几何图形中的规律【例14】观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是一样的），请写出第n个图中最小．．的三角形的个数有个．【巩固】图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）A．25B．66C．91D．120图3图2图1【巩固】用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来