第三节-找规律、定义新运算和程序运算

第三节找规律、定义新运算和程序运算一、课标导航课标内容课标要求目标层次找规律学会基本的找规律的方法★掌握常见的找规律题型，能根据题意找出相同的对应关系★★通过观察、归纳、验证及类比联想寻找规律，获得结论★★★定义新运算能根据题意进行运算，熟悉定义新运算的关键所在★★程序计算弄清程序与数学表达之间的关系，并准确转化为数学问题进行解题★★二、核心纲要1.找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论。有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件。一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系。(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系。(3)图形（图标）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系。(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。(5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。常见的数列规律：(1)1,3,5,7,9，…，12n（n为正整数）；(2)2,4,6,8,10，…，n2（n为正整数）；(3)2,4,8,16,32，…，n2（n为正整数）；(4)2,5,10,17,26，…，12n（n为正整数）；(5)0,3,8,15,24，…，12n（n为正整数）；(6)2,6,12,20，…，)1(nn（n为正整数）；(7)x,x,x,x,x,x,…，xn)1(（n为正整数）；(8)x,x,x,x,x,x,…，xn1)1(（n为正整数）；(9)特殊数列：①斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数的和；②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，2)1(nn。2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按基本运算过程、运算规律进行运算。(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序；②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。3.程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题。4.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力本节重点讲解：两大能力，三种题型（兆规律、定义新运算和程序计算）。三、全能突破基础演练1.根据图3-3-1中数字的规律，在图形中填空。2.观察下面一列整式：yx221，4461yx，98121yx，1616201yx，…，照此规律第6个整式是_______________，第n个（1n且为整数）整式是_______________。3.正整数按图3-3-2中的规律排列，请写出第45行，第46列的数字__________。图3-3-24.图3-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖。从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和6个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是__________。图3-3-3图3-3-45.如图3-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”。如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”。若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是__________；第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是__________。6.观察下列等式：①531422；②732522；③933622；④1134722；……则第n（n是正整数）个等式为__________________。7.我们规定一种运算：bcaddcba，若0124xx，则x__________。8.魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图3-3-5所示的步骤操作：图3-3-5魔术师立刻说出观众想的那个数。(1)如果小明想的数是-1，那么他告诉魔术师的结果应该是__________；(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是__________。(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙。能力提升9.已知：441，1642，4163，25644，102445，…，以上算式结果的个位数字分别为4,6,4,6，…，按照上面的研究方法确定2006200720072006的个位数字为（）。A.3B.4C.5D.610.如图3-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是__________。图3-3-611.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如，他们研究过图3-3-7(a)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图3-3-7(b)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）。(a)(b)图3-3-7A.15B.25C.55D.122512.(1)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足各种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意兆一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是__________。(2)任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上诉程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为__________。13.在下表中，我们把第i行第j列的数记为jia,（其中ji,都是不大于5的正整数），对于表中的每个数jia,规定如下：当ji时，1,jia；当ji时，0,jia，例如：当2i，1j时，11,2,aaji。按此规定，3,1a___________；表中的25个数中，共有___________个1；计算5,5,14,4,13,3,12,2,11,1,1iiiiiaaaaaaaaaa的值为___________。14.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由文明→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图3-3-8所示，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为___________。15.已知2m，2n，且nm,均为正整数，如果将nm按图3-3-9所示方式“分解”，那么下列三个叙述：①在52的“分解”中最大的数是11,；②在34的“分解”中最小的数是13；③若3m的“分解”中最小的数是23，则m等于5.其中正确的是___________。图3-3-8图3-3-916.有一个运算程序，当nba(n为常数)时，则1)1(nba，2)1(nba，若211，则20122012___________。17.按图3-3-10所示的程序计算：若输入100x，输出结果是501，若输入25x，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x的可能值为___________。图3-3-1018.如图3-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意一个相邻格子中所填整数之和都相等。图3-3-11(1)可求得x___________。第2012个格子中的数为___________。(2)判断，前m个格子中所填整数之和是否可能为2012？若能，求出m的值；若不能，请说明理由。19.阅读图3-3-12并回答下列问题：(1)若A为785，则E=___________；(2)按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由，如果不用，请求出E的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明。图3-3-12中考链接20.(北京)图3-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D。请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是___________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是___________；当字母C第12n次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是___________（用含n的代数式表示）。图3-3-13图3-3-1421.(江西)观察图3-3-14中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有的个数为___________（用含n的代数式表示）。22.(1)(贵州贵阳)符号“f”表示一种运算，①,3)4(,2)3(,1)2(,0)1(ffff…②,5)51(,4)41(,3)31(,2)21(ffff…利用以上规律计算：)2012()20121(ff___________。(2)(湖北咸宁)如下图所示的运算程序中，若开始输入的x值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为___________。巅峰突破23.图3-3-16所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是___________。24.对于两数a和b，给定一种运算“#”：abbaba#，则在下列等式中：①abba##；②aa0#；③)#(#)##(cbacba。正确的是___________（填序号）。25.正整数n小于100，并满足等式nnnn632，其中x表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有多少个？图3-3-16